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Problèmes équivalents
Si e
2 4df A 0, l’équation est hyperbolique. C’est, par exemple, l’équation
de la chaleur
Cx
Cw
= f
C
2 x
C{ 2
Notons que le genre d’une équation peut varier selon les valeurs des variables. L’équation
C
2 x
C{ 2 +({
2 |
2 )
C
2 x
C| 2 =0
est hyperbolique si |{| ? |||, elliptique si |{| A ||| et parabolique si |{| = |||.
8.8 Problèmes équivalents
Soit un domaine de R
q
,e tC
son bord. On considère l’opérateur
diérentiel L et le problème de Dirichlet : trouver les solutions de l’équation
½
Lx = i sur
x = x 0
sur C

Sous certaines conditions, nous allons voir que ce problème est équivalent
à deux autres problèmes : le problème variationnel, lui-même équivalent au
problème de minimisation énergétique. Soit Y un espace de Hilbert, appelé
espace des fonctions tests,etD l’opérateur diérentiel dérivé de L.Onnote
d(x> y)=
Z
DxDyg{
et
O(y)=
Z
iyg{
Le problème variationnel équivaut à trouver une fonction x de Y telle que
d(x> y)=O(y) ; y 5 Y
Y est un espace de Hilbert, d(x> y) une forme sesquilinéaire (linéaire en x et
antilinéaire en y : d(x> y 1 + y 2 )=d(x> y 1 )+d(x> y 2 )) continue sur Y × Y
et coercive, c’est-à-dire telle que
; y 5 Y> Re d(x> y) kyk
2
Y
et O une forme antilinéaire continue sur Y .O nd é m o n t r eq u es ix est
une solution du problème de Dirichlet, alors x est solution du problème
variationnel. En général, la réciproque est fausse. Mais on peut toutefois
trouver un espace Z Y> tel que si x est élément de Z ,e ts o l u t i o nd u
problème variationnel, alors x est solution du problème de Dirichlet. Les
résultats reposent sur le théorème de Lax-Milgram qui a!rme que si d(x> y)