8. Équations aux dérivées partielles
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et pour s = 4
kxk p>4 =m a x
||p
{sup hvv
{5

|C
x({)|}
Les espaces de Sobolev sont des espaces de Banach. Si 0 p q> l’injection Z
q>s (
) Z
p>s (
) est continue. On note Z
p>s
0
(
) l’adhérence
des fonctions F
4
0 (
) dans Z
p>s (
) pour la topologie définie par la norme
usuelle de Z
p>s (
)= Pour s =2 ,o nn o t eK
p (
) l’espace Z
p>2 (
) et on
appelle espaces d’énergie les espaces K
p (
)= Étant munis d’un produit
scalaire, les espaces d’énergie sont des espaces de Hilbert. Pour = R
q
et
s =2on démontre la définition équivalente suivante
K
p (R
q )={x 5 O
2 (R
q )> (1 + ||
2 )
p@2 ˆ
x 5 O
2 (R
q )}
où ˆ
x est la transformée de Fourier de la fonction x. Muni du produit scalaire
hx> yi p =
Z
R q
(1 + |{|
2 )
p ˆ
x({)ˆ y({)g{
l’espace K
p (R
q ) e s tu ne s p a c ed eH i l b e r t .L an o r m es ’ é c r i t
kxk p =
µZ
R q
(1 + |{|
2 )
p |ˆ x({)|
2 g{
¶ 1@2
Lorsque p est un entier naturel, on démontre que les normes sont équivalentes
kxk
2
v =
X
||p
kC
xk
2
O 2
On démontre les inclusions
D(
) S(
) F
4 (
)
et pour p entier naturel
D(
) S(
) K
p (
) === K
0 (
)=O
2 (
) D
0 (
)
Pour un entier p non nul, on note K
p
0 (
) l’adhérence de D(
) dans
K
p (
)= On a
K
p
0 (
)=Z
p>2
0
(
)
On démontre que l’ensemble D(
) est dense dans K
p
0 (
) muni de la norme
de K
p (
)= Le dual de K
p
0 (
) est noté K
p
0
(
).Sip est un entier naturel
et un ouvert borné de R
q
,ondémontrelethéorème de Rellich qui a!rme
que K
p+1
0
(
) K
p
0 (
) est une injection compacte.