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Variété des caractéristiques
8.6 Variété des caractéristiques
La variété des caractéristiques V est la variété de R
q
définie par l’équation
!({)=0
avec
({> judg!({)) = 0
et
judg!({) 6 =0 pour { 5 V
Dans le cas particulier où l’équation diérentielle s’écrit sous la forme
q
X
l=1
D l
Cx
C{ l
= i
où i est une fonction de R
q
dans R
p
et D l une matrice carrée p × p,
l’équation des caractéristiques prend la forme
det
¯
¯
¯
¯
¯
q
X
l=1
D l
C!
C{ l
¯
¯
¯
¯
¯
=0
Exemple 1. On considère le système de la dynamique des gaz
;
A ?
A =
Cx
Cw
+
1
Cs
C|
=0
Cs
Cw
+ f
2 Cx
C|
=0
Le système s’écrit sous la forme d’une équation matricielle
µ
10
01
¶ C
Cw
µ
x
s
¶
+
µ
01 @
f
2 0
¶ C
C|
µ
x
s
¶
=0
L’équation des caractéristiques
det
¯
¯
¯
¯
µ
10
01
¶ C!
Cw
+
µ
01 @
f
2 0
¶ C!
C|
¯
¯
¯
¯ =0
s’écrit
µ C!
Cw
¶ 2
f
2
µ C!
C|
¶ 2
=0
soit en posant g|@gw =(
C!
Cw
)@(
C!
C|
)>
(g| fgw)(g| + fgw)=0