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Espaces de Sobolev
Dans ces conditions, on appelle extension asymptotique du symbole ,l a
somme infinie des m et on note
4
X
m=0
m
Si (i> j) d é s i g n el ep r o d u i ts c a l a i r ed ed e u xé l é m e n t sd eV
(i> j)=
Z
R q
i ({)j({)g{
on définit pour un opérateur pseudo-diérentiel S associé à un symbole
l’adjoint S
de cet opérateur par l’égalité
(S i> j)=(i> S
j)
Pour un symbole de V
p
, l’opérateur adjoint est un opérateur pseudodiérentiel de symbole de V
p
et d’extension
({> )
X
(l)
||
(C
{ C
)({> )
Si S est l’opérateur
S ({> G)=
X
||p
d ({)C
son adjoint est l’opérateur
S
x =
X
||p
(1)
|| C
(d x)
Un symbole de V
p
est elliptique s’il existe deux constantes F et U, telles
que
({> ) F(1 + ||)
p
; || AU
Un opérateur pseudo-diérentiel est elliptique si son symbole est elliptique.
8.5 Espaces de Sobolev
Soit 1 s 4un réel, un ouvert de R
q
,o nc o n s i d è r el ’ espace de
Sobolev défini par
Z
p>s (
)={x 5 O
s (
)> ; || p> C
x 5 O
s (
)}
C e te s p a c em u n id el an o r m e
kxk p>s =
X
||p
kC
xk O s