8. Équations aux dérivées partielles
179
Dans cette expression {= désigne le produit scalaire des vecteurs { et =
La transformée de Fourier inverse est alors l’application
i ({)=
Z
R q
h
l{= b
i ()g
Pour une distribution tempérée W 5 S
0
(R
q
), on note FW ou encore b
W la
transformée de Fourier, définie par la relation, pour tout * 5 S(R
q
)
hFW>*i = hW>F*i
8.4 Opérateurs pseudo-diérentiels
Soit p un réel, notons V
p
l’ensemble des fonctions ({> ) 5 F
4
0 (R
q ×
R
q ) tel que pour tout multi-indice et > il existe une constante F qui
dépend de ces multi-indices vérifiant
¯
¯
¯G
{ G
({> )
¯
¯
¯ F(1 + ||)
p||
Toute fonction pour laquelle l’inégalité précédente est vraie pour toute
valeur de p est appelée un symbole. Nous considérerons ici des symboles
simples comme la fonction
({> )=
X
||=p
d ({)=
dont les coe!cients appartiennent à l’ensemble F
4
0 (R
q ), ensemble des fonctions indéfiniment diérentiables à support compact. Un opérateur pseudodiérentiel sur un ouvert de R
q
est un opérateur S : F
4
0 (
) $ F
4 (
)
donné par
S*({)=
1
(2) q
Z
h
l{= ({> )b *()g
où * est une fonction de F
4
0 (
)>{ et sont des réels de R
q >{ = est leur
produit scalaire et b
* la transformée de Fourier de la fonction *.Laquantité
({> ) est appelée le symbole de l’opérateur S . L’opérateur S est encore
noté S pour signifier qu’il s’agit de l’opérateur S associé au symbole .Si
deux opérateurs S et S coïncident, alors les symboles sont égaux ( = ).
Soit un élément de V
p
, m une suite de V
pm
où (p m ) est une suite de
réels décroissante p = p 0 Ap 1 A === A pjt e n d a n tv e r s4 lorsque m
tend vers l’infini et tel que
q1 X
m=0
m 5 V
pq
;q 5 N