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Distributions
Ainsi la distribution de Dirac au point d est définie par
h d >*i =
Z 4
4
({ d)*({)g{ = *(d)
Le produit d’une distribution W 5 D
0 (
) par une fonction d 5 F
4 (
) est
la distribution dW définie pour tout * 5 D(
)> par
hdW> *i = hW>d*i
La dérivée d’une distribution est définie par l’expression
¿ CW
C{ l
>*
À
=
¿
W>
C*
C{ l
À
En ce sens, toute distribution est indéfiniment dérivable. Un opérateur
diérentiel d’ordre p est défini par
S ({> G)=
X
||p
d ({)G
où { est un point de R
q >d des fonctions de R
q
sur R et un multi-indice
de N
q =
Le symbole principal de l’opérateur S est défini par
({> )=
X
||=p
d ({)=
Si S est un opérateur diérentiel, une solution élémentaire (ou fondamentale) H est une solution de l’équation SH = .S o i tS(R
q
) l’espace des
fonctions x de classe F
4
sur R
q
telles que pour tout > de N
q
,
lim
|{|$4
¯
¯ {
C
x({)
¯
¯ =0
L’espace S
0
(R
q
)d e sdistributions tempérées est le dual topologique de
S(R
q
), c’est-à-dire l’espace des formes linéaires continues sur S(R
q
). Une
distribution W appartient à S
0
(R
q
) si et seulement si il existe un entier
naturel p, un multi-indice et une fonction continue bornée sur R
q
tels
que
W = C
[(1 + |{|
2 )
p i ]
Pour une fonction i 5 O
1
(R
q
), on note Fi ou encore b
i la transformée de
Fourier
b
i ()=
1
(2) q
Z
R q
h
l{= i ({)g{