8. Équations aux dérivées partielles
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R)e s tl ’ e s p a c eO
t
avec 1@s +1@t =1 . L’espace O
s
est un espace complet. Si est un ouvert de R
q
, l’espace D(
) des fonctions F
4
à support
compact contenu dans est dense dans l’espace O
s
, c’est-à-dire que toute
fonction de s-norme finie est approchable par une suite de fonctions régulières. Notons enfin que le dual de l’espace O
1 (
> R) est l’espace O
4 (
> R)
des fonctions essentiellement bornées.
8.3 Distributions
Soit un ouvert de R
q = On définit pour un entier n, l’espace F
n (
)
comme l’espace des fonctions continues dont toutes les dérivées jusqu’à
l’ordre n sont continues sur
. L’ensemble des fonctions indéfiniment dérivables est l’intersection des ensembles F
n (
)> et on note
F
4 (
)=
4
\
n=0
F
n (
)
L’ensemble D(
) est l’espace des fonctions F
4
à support compact contenu
dans
, D(
)=F
4
0 (
)= On note =( 1 > ===> q ) un multi-indice, m 5 N
et
G
= C
1
1 ====C
q
q
avec C m =
C
C{ m
G m = lC m
l’opérateur de diérentiation, || = 1 + === + q est la longueur du multiindice. L’ensemble F
n> (
) pour 0 ? 1 est l’ensemble des fonctions de
F
n (
) telles que toutes les dérivées d’ordre n sont höldériennes d’ordre n
au voisinage de tout point de
.
Une distribution W à valeurs réelles ou complexes est une application de D
dans R ou C, * $ hW>*i linéaire et continue au sens où si on désigne par * q
une suite de fonctions non nulles en dehors d’un ensemble borné, telles que
si la suite des dérivées d’ordre n de * q (n =0> 1> ===) converge uniformément
vers la dérivée de * d’ordre n, alors hW>* q i converge vers hW>*i. L’ensemble
des distributions forme un espace vectoriel noté D
0
.Onappelledistribution
régulière une distribution associée à une fonction i localement sommable
sur R
q
, encore notée W i ou plus simplement i et définie par
hi> *i =
Z
i ({)*({)g{
On définit de la même manière une distribution associée à une mesure
h> *i =
Z
*({)g({)
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R)e s tl ’ e s p a c eO
t
avec 1@s +1@t =1 . L’espace O
s
est un espace complet. Si est un ouvert de R
q
, l’espace D(
) des fonctions F
4
à support
compact contenu dans est dense dans l’espace O
s
, c’est-à-dire que toute
fonction de s-norme finie est approchable par une suite de fonctions régulières. Notons enfin que le dual de l’espace O
1 (
> R) est l’espace O
4 (
> R)
des fonctions essentiellement bornées.
8.3 Distributions
Soit un ouvert de R
q = On définit pour un entier n, l’espace F
n (
)
comme l’espace des fonctions continues dont toutes les dérivées jusqu’à
l’ordre n sont continues sur
. L’ensemble des fonctions indéfiniment dérivables est l’intersection des ensembles F
n (
)> et on note
F
4 (
)=
4
\
n=0
F
n (
)
L’ensemble D(
) est l’espace des fonctions F
4
à support compact contenu
dans
, D(
)=F
4
0 (
)= On note =( 1 > ===> q ) un multi-indice, m 5 N
et
G
= C
1
1 ====C
q
q
avec C m =
C
C{ m
G m = lC m
l’opérateur de diérentiation, || = 1 + === + q est la longueur du multiindice. L’ensemble F
n> (
) pour 0 ? 1 est l’ensemble des fonctions de
F
n (
) telles que toutes les dérivées d’ordre n sont höldériennes d’ordre n
au voisinage de tout point de
.
Une distribution W à valeurs réelles ou complexes est une application de D
dans R ou C, * $ hW>*i linéaire et continue au sens où si on désigne par * q
une suite de fonctions non nulles en dehors d’un ensemble borné, telles que
si la suite des dérivées d’ordre n de * q (n =0> 1> ===) converge uniformément
vers la dérivée de * d’ordre n, alors hW>* q i converge vers hW>*i. L’ensemble
des distributions forme un espace vectoriel noté D
0
.Onappelledistribution
régulière une distribution associée à une fonction i localement sommable
sur R
q
, encore notée W i ou plus simplement i et définie par
hi> *i =
Z
i ({)*({)g{
On définit de la même manière une distribution associée à une mesure
h> *i =
Z
*({)g({)