176
Espaces de Lebesgue
àr é s o u d r el es y s t è m e
½
Lx = i{ 5
x = j{ 5 C
En général la fonction j est (au moins) continue. Dans le problème de
Neumann ou deuxième problème aux limites, on cherche une solution de
l’équation diérentielle dont on connaît la valeur du gradient sur le bord du
domaine de résolution. Notant q la normale unitaire dirigée vers l’extérieur
de
, on cherche donc à résoudre le problème
½
Lx = i{ 5
G q x = j{ 5 C
expression dans laquelle on a noté G q = Cx@Cq = ux=q= Dans le problème
de Dirichlet-Neumann ou troisième problème aux limites, on cherche une
fonction qui vérifie la troisième condition au bord
½
Lx = i{ 5
G q x + dx = j{ 5 C
où d est une fonction de {. Enfin, une équation de la forme
Lx + x =0
est un problème aux valeurs propres. Déterminer les solutions de ce type
d’équation revient à déterminer les vecteurs propres de l’opérateur L.Sous
certaines conditions, on démontre que chaque problème admet une solution
unique. On doit alors préciser ce qu’on entend par “solution”, car x peut
être une fonction diérentiable (solution forte) ou une distribution (solution
faible).
8.2 Espaces de Lebesgue
L’espace de Lebesgue O
s
(1 s?4) est défini comme l’espace quotient
de L
s
par la relation d’équivalence des fonctions égales presque partout.
La norme
ki k s =
µZ
|i |
s g({)
¶ 1@s
permet de définir l’espace de Lebesgue comme l’ensemble des fonctions de
norme finie
O
s = {x> kxk s ? 4}
L’espace O
2
est l’espace des fonctions de carré intégrable. Le dual (topologique) de l’espace O
s
(i.e. l’ensemble des applications linéaires de O
s
dans