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Équations aux dérivées partielles
Ce chapitre traite des problèmes théoriques liés à la résolution d’équations aux dérivées partielles. La notion de solution forte ou faible conduit à
considérer diérents aspects du problème. On rappelle les principaux résultats concernant les distributions et les opérateurs pseudo-diérentiels et on
introduit les espaces de Sobolev. Au plan numérique on étudie les méthodes
de diérences finies. Dans ces méthodes, chaque dérivée est approchée par
une expression discrétisée. L’équation diérentielle est ainsi remplacée par
une expression discrète appelée schéma numérique. L’étude porte alors sur
les conditions de convergence de ces schémas vers la solution exacte et de
leur stabilité. Les erreurs accumulées au fil du calcul pouvant conduire à
une solution numérique qui s’éloigne progressivement de la solution exacte.
8.1 Problèmes aux limites
Soit un domaine de R
q
et le C
bord de ce domaine. On considère un
opérateur diérentiel L et l’équation
Lx({> w)=i ({> w)
Pour résoudre cette équation dans laquelle x est l’inconnue et i une donnée
sur × R, on lui adjoint des conditions aux limites. Dans le problème
de Dirichlet ou premier problème aux limites on cherche une solution de
l’équation qui prend des valeurs données sur le bord de
. On cherche donc
Équations aux dérivées partielles
Ce chapitre traite des problèmes théoriques liés à la résolution d’équations aux dérivées partielles. La notion de solution forte ou faible conduit à
considérer diérents aspects du problème. On rappelle les principaux résultats concernant les distributions et les opérateurs pseudo-diérentiels et on
introduit les espaces de Sobolev. Au plan numérique on étudie les méthodes
de diérences finies. Dans ces méthodes, chaque dérivée est approchée par
une expression discrétisée. L’équation diérentielle est ainsi remplacée par
une expression discrète appelée schéma numérique. L’étude porte alors sur
les conditions de convergence de ces schémas vers la solution exacte et de
leur stabilité. Les erreurs accumulées au fil du calcul pouvant conduire à
une solution numérique qui s’éloigne progressivement de la solution exacte.
8.1 Problèmes aux limites
Soit un domaine de R
q
et le C
bord de ce domaine. On considère un
opérateur diérentiel L et l’équation
Lx({> w)=i ({> w)
Pour résoudre cette équation dans laquelle x est l’inconnue et i une donnée
sur × R, on lui adjoint des conditions aux limites. Dans le problème
de Dirichlet ou premier problème aux limites on cherche une solution de
l’équation qui prend des valeurs données sur le bord de
. On cherche donc