7. Équations et systèmes d’équations diérentielles
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et soit n une fonction de L ×L $ R. On considère le problème intégrodiérentiel suivant : Trouver une fonction | de classe F
1
telle que
½
|
0 (w)=i (w> |(w)) +
R w
w 0
n(w> v)|(v)gv
|(w 0 )=|0
1) Vérifier que ce problème est équivalent au problème suivant : Trouver une fonction | de classe F
1
telle que
|(w)=| 0 +
R w
w 0
(i (x> |(x)) +
R x
w 0
n(x> v)|(v)gv) gx
2) On considère la subdivision w l = w 0 + lk pour l =0 > 1>===>Q et
k = W@Q, Q étant fixé et l’approximation | q de |(w q ) donnée pour
q =0> 1>===>Q 1 par
| q+1 = | q + ki (w q >| q )+k
2
q1 X
l=0
n(w q >w l )| l
les sommes sur les indices négatifs étant nulles. Montrer que
|(w q+1 ) |(w q )=
Z w q+1
w q
(|
0 (w) |
0 (w q )) gw + k|
0 (w q )
En déduire que si on pose
v 1 (|
0 >k)=pd{ ||
0 (w) |
0 (v)|
le maximum étant pris sur les couples (v> w) tels que |w v| k et
v 2 (n|> k)=pd{ |n(w> v)|(v) n(w> x)|(x)|
le maximum étant pris sur les couples (v> x) tels que |v x| k> on
peut majorer la quantité
q = |(w q+1 ) |(w q ) ki (w q >|(w q )) k
2
q1 X
l=0
n(w q >w l )|(w l )
par
q kv 1 + qk
2 v 2
En déduire que si | est de classe F
1
,l as o m m e
Q1 X
l=0
| l |
tend vers zéro lorsque Q tend vers l’infini.
3) On pose h q = ||(w q ) | q |, N
2 = pd{|n(v> w)| le maximum étant