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Méthodes de prédiction-correction
7.22 Méthodes de prédiction-correction
Dans les méthodes de prédiction-correction (PECE), un prédicteur 1
fournit une première valeur approchée ˜
| l+1 de | l+1 àp a r t i rd el ac o n n a i s -
sance de | lu > ===> | l >i lu > ===> i l . Cette valeur approchée est utilisée pour évaluer une approximation ˜
i l+1 de i ({ l+1 > ˜
| l+1 ). Une nouvelle formule de | l+1
donne une valeur corrigée en utilisant la valeur approchée précédemment
calculée de ˜
i l+1 . Pour démarrer l’algorithme, comme les premiers termes
ne sont pas connus, on utilise en général une méthode de Runge-Kutta.
Les méthodes de prédiction-correction, aussi appelées méthodes PECE se
composent de quatre équations Prédiction (P), Évaluation (E), Correction
(C) et de nouveau Évaluation (E).
;
A A ?
A A =
Prédiction
˜
| l+1 = 1 (| lu > ===> | l >i lu > ====> i l )
Évaluation
˜
i l+1 = i ({ l+1 > ˜
| l+1 )
Correction
| l+1 = 2 (| lu > ===> | l >i lu > ====> i l > ˜
i l+1 )
Évaluation
i l+1 = i ({ l+1 >| l+1 )
Afin de gagner du temps, la dernière évaluation est parfois omise : c’est
la méthode PEC. Dans les méthodes d’Adams, le prédicteur est une méthode d’Adams-Bashforth d’ordre (u+1) et le correcteur utilise une formule
d’Adams-Moulton d’ordre (u +2). Par exemple, à l’ordre 4, on emploiera
;
A A ?
A A =
˜
| l+1 = | l +
k
24 (55i l 59i l1 +37i l2 9i l3 )
˜
i l+1 = i ({ l+1 > ˜
| l+1 )
| l+1 = | l +
k
24 (9 ˜
i l+1 +19i l 5i l1 + i l2 )
i l+1 = i ({ l+1 >| l+1 )
La méthode de Milne d’ordre 4 est illustrée ci-après
;
A A ?
A A =
˜
| l+1 = | l3 +
4k
3 (2i l i l1 +2i l2 )
˜
i l+1 = i ({ l+1 > ˜
| l+1 )
| l+1 = | l +
k
3 ( ˜
i l+1 +4i l + i l1 )
i l+1 = i ({ l+1 >| l+1 )
À l’ordre 6, la méthode de Milne est donnée par les schémas suivants
;
A A ?
A A =
˜
| l+1 = | l5 +
3k
10 (11i l 14i l1 +26i l2 14i l3 +11i l4 )
˜
i l+1 = i ({ l+1 > ˜
| l+1 )
| l+1 = | l +
2k
45 (7 ˜
i l+1 +32i l +12i l1 +32i l2 +7i l3 )
i l+1 = i ({ l+1 >| l+1 )
7.23 Exercices
1. Équation intégro-diérentielle. Soit f une fonction définie sur un intervalle L =[w 0 >w 0 + W ] , WA0 satisfaisant la condition de Lipschitz :
;w 5 L> ;{> | 5 R |i (w> {) i (w> |)| O|{ ||
Méthodes de prédiction-correction
7.22 Méthodes de prédiction-correction
Dans les méthodes de prédiction-correction (PECE), un prédicteur 1
fournit une première valeur approchée ˜
| l+1 de | l+1 àp a r t i rd el ac o n n a i s -
sance de | lu > ===> | l >i lu > ===> i l . Cette valeur approchée est utilisée pour évaluer une approximation ˜
i l+1 de i ({ l+1 > ˜
| l+1 ). Une nouvelle formule de | l+1
donne une valeur corrigée en utilisant la valeur approchée précédemment
calculée de ˜
i l+1 . Pour démarrer l’algorithme, comme les premiers termes
ne sont pas connus, on utilise en général une méthode de Runge-Kutta.
Les méthodes de prédiction-correction, aussi appelées méthodes PECE se
composent de quatre équations Prédiction (P), Évaluation (E), Correction
(C) et de nouveau Évaluation (E).
;
A A ?
A A =
Prédiction
˜
| l+1 = 1 (| lu > ===> | l >i lu > ====> i l )
Évaluation
˜
i l+1 = i ({ l+1 > ˜
| l+1 )
Correction
| l+1 = 2 (| lu > ===> | l >i lu > ====> i l > ˜
i l+1 )
Évaluation
i l+1 = i ({ l+1 >| l+1 )
Afin de gagner du temps, la dernière évaluation est parfois omise : c’est
la méthode PEC. Dans les méthodes d’Adams, le prédicteur est une méthode d’Adams-Bashforth d’ordre (u+1) et le correcteur utilise une formule
d’Adams-Moulton d’ordre (u +2). Par exemple, à l’ordre 4, on emploiera
;
A A ?
A A =
˜
| l+1 = | l +
k
24 (55i l 59i l1 +37i l2 9i l3 )
˜
i l+1 = i ({ l+1 > ˜
| l+1 )
| l+1 = | l +
k
24 (9 ˜
i l+1 +19i l 5i l1 + i l2 )
i l+1 = i ({ l+1 >| l+1 )
La méthode de Milne d’ordre 4 est illustrée ci-après
;
A A ?
A A =
˜
| l+1 = | l3 +
4k
3 (2i l i l1 +2i l2 )
˜
i l+1 = i ({ l+1 > ˜
| l+1 )
| l+1 = | l +
k
3 ( ˜
i l+1 +4i l + i l1 )
i l+1 = i ({ l+1 >| l+1 )
À l’ordre 6, la méthode de Milne est donnée par les schémas suivants
;
A A ?
A A =
˜
| l+1 = | l5 +
3k
10 (11i l 14i l1 +26i l2 14i l3 +11i l4 )
˜
i l+1 = i ({ l+1 > ˜
| l+1 )
| l+1 = | l +
2k
45 (7 ˜
i l+1 +32i l +12i l1 +32i l2 +7i l3 )
i l+1 = i ({ l+1 >| l+1 )
7.23 Exercices
1. Équation intégro-diérentielle. Soit f une fonction définie sur un intervalle L =[w 0 >w 0 + W ] , WA0 satisfaisant la condition de Lipschitz :
;w 5 L> ;{> | 5 R |i (w> {) i (w> |)| O|{ ||