7. Équations et systèmes d’équations diérentielles
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Lorsque le système ne dépend pas du temps, l’équation |
0 = i (|) est approchée par
| q+1 | q + k
µ
i (| q )+
Ci
Cw
(| q )(| q+1 | q )
¶
ce qui conduit à la résolution d’un système de la forme
µ
L k
Ci
C|
(| q )
¶
(| q+1 | q )=ki (| q )
appelée méthode semi-implicite d’Euler . En paramétrant ces équations, Rosenbrock propose le schéma suivant
µ
L k ll
Ci
C|
(| q )
¶
n l = ki
3
C | q +
l1
X
m=1
lm n m
4
D + k
Ci
C|
(| q )
l
X
m=1
lm n m
Kaps-Rentrop proposent de choisir pour coe!cients ll = > ce qui permet d’inverser facilement la matrice (L kCi (| q )@C|)e td ec a l c u l e rl e s
coe!cients n l .
Pour une méthode à v =2pas, on prendra
| l+1 = | l +
1
2
(n 1 + n 2 )
avec
(1 kM)n 1 = i (| l )
(1 kM)n 2 = i (| l + kn 1 ) 2kMn 1
M étant une approximation du jacobien de i et =1+1@
s
2=
Pour une méthode à v =4pas, Kaps-Rentrop proposent de poser
j l =
l1
X
m=1
lm n m + n l
et de résoudre le système
;
A A A A ?
A A A A =
(1@k M q )j 1 = i (| q )
(1@k M q )j 2 = i (| q +2j 1 ) 8j 1 @k
(1@k M q )j 3 = i (| q +(48j 1 +6j 2 )@25) + (372j 1 +60j 2 )@25k
(1@k M q )j 4 = i (| q +(48j 1 +6j 2 )@25) (112j 1 +54j 2 +50j 3 )@125k
| q+1 = | q +19j 1 @9+j 2 @2+25j 3 @108 + 125j 4 @108
où M q est une approximation du jacobien. Une estimation de l’erreur de
cette méthode est donnée par la diérence entre les valeurs de | q+1 à
l’ordre v =4et à l’ordre v =3,
= |
(4)
q+1 |
(3)
q+1 =
17
54
j 1 +
7
36
j 2 +
125
108
j 4