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Méthodes de Rosenbrock
l’expression de | l+1 sont parfois appelées formules d’Adams fermées.L a
méthode d’Adams-Moulton à (u +1) pas est une méthode stable (si i est
lipschitzienne) et d’ordre (u +2).
Les méthodes de Milne implicites s o n tf o n d é e ss u rl em ê m ep r i n c i peq u e
les méthodes d’Adams-Moulton mais ici, le schéma donnant | l+1 est exprimé en fonction de | lu .
½
| l+1 = | lu + k l =(d 0 i l+1 + d 1 i l + === + d u i lu )
{ l+1 = { l + k l
Les coe!cients d m sont tabulés. Par exemple à l’ordre u =3,onad 0 =14/45,
d 1 =64/45, d 2 =24/45, d 3 =64/45, et d 4 =14/45. L’erreur commise est égale
à
f u =k
u+3 =|
(u+3) ()
où 5 [{ lu >{ l+1 ]. À l’ordre 3, le coe!cient f u vaut 8@945.
7.21 Méthodes de Rosenbrock
Les méthodes de Rosenbrock aussi appelées méthodes de Kaps-Rentrop,
ont l’avantage de pouvoir traiter des systèmes raides et sont compétitives
avec d’autres algorithmes plus compliqués lorsque la taille du système n’est
pas trop élevée (Q?10). Considérons l’équation
|
0 = i (w> |)
Les méthodes de Rosenbrock à v pas se définissent par le schéma
| q+1 = | q + f 1 n 1 + === + f v n v
où
n l = ki
3
C w q + l k> | q +
l1
X
m=1
lm n m
4
D + l k
2 Ci
Cw
(w q >| q )+
+k
Ci
C|
(w q >| q )
l
X
m=1
lm n m
Les coe!cients e l , l>m et l>m sont donnés pour chaque schéma et
l =
l1
X
m=1
lm et l =
l
X
m=1
lm