7. Équations et systèmes d’équations diérentielles
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Dans les méthodes d’Adams-Bashforth, s q>u ({) est le polynôme d’interpolation de i aux points { lu >{ lu+1 > ====> { l .Sionnotelespentesi l = i ({ l >| l ),
l’algorithme de la méthode d’Adams-Bashforth à (u +1) pas, s’écrit
½
| l+1 = | l + k l =(d 0 i l + d 1 i l1 + === + d u i lu )
{ l+1 = { l + k l
Les coe!cients d m sont tabulés, par exemple à l’ordre u =3,onad 0 =55/24,
d 1 = 59/24, d 2 =37/24, d 3 = 9@24. L’erreur commise est égale à
f u =k
u+2 =|
(u+2) ()
où 5 [{ lu >{ l+1 ]. À l’ordre 3, le coe!cient f u vaut 251/720. La méthode d’Adams-Bashforth est une méthode explicite. Les formules donnant
l’expression de | l+1 sont parfois appelées formules d’Adams ouvertes.L a
méthode d’Adams-Bashforth à (u +1) pas est une méthode stable (si i est
lipschitzienne) et d’ordre (u +1).
Les méthodes de Milne explicites sont fondées sur le même principe que les
méthodes d’Adams-Bashforth mais ici, le schéma donnant | l+1 est exprimé
en fonction de | lu .
½
| l+1 = | lu + k l =(d 0 i l + d 1 i l1 + === + d u i lu )
{ l+1 = { l + k l
Les coe!cients d m sont tabulés. Par exemple à l’ordre u =3,o nad 0 =8/3,
d 1 = 4/3, d 2 =8@3, d 3 =0. L’erreur commise est égale à
f u =k
u+2 =|
(u+2) ()
où 5 [{ lu >{ l+1 ]. À l’ordre 3, le coe!cient f u vaut 14/45.
Dans les méthodes d’Adams-Moulton,l af o n c t i o ni est approchée par son
polynôme d’interpolation aux points { lu > ===> { l >{ l+1 . La méthode est identique à la méthode d’Adams-Bashforth, mais ici le point { l+1 est pris en
plus. De ce fait, la méthode d’Adams-Moulton est une méthode implicite :
à chaque pas de calcul, on suppose connues les valeurs i lu > ===i l >i l+1 .
½
| l+1 = | l + k l =(d 0 i l+1 + d 1 i l + === + d u i lu )
{ l+1 = { l + k l
Les coe!cients d m sont tabulés. Par exemple à l’ordre 3,onad 0 = 251@720,
d 1 = 646@720, d 2 = 264@720, d 3 = 106@720, d 4 = 19@720. L’erreur
commise est égale à
f u =k
u+3 =|
(u+3) ()
où 5 [{ lu >{ l+1 ]. À l’ordre 3, le coe!cient f u vaut 3@160.L am é -
thode d’Adams-Moulton est une méthode implicite. Les formules donnant
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Dans les méthodes d’Adams-Bashforth, s q>u ({) est le polynôme d’interpolation de i aux points { lu >{ lu+1 > ====> { l .Sionnotelespentesi l = i ({ l >| l ),
l’algorithme de la méthode d’Adams-Bashforth à (u +1) pas, s’écrit
½
| l+1 = | l + k l =(d 0 i l + d 1 i l1 + === + d u i lu )
{ l+1 = { l + k l
Les coe!cients d m sont tabulés, par exemple à l’ordre u =3,onad 0 =55/24,
d 1 = 59/24, d 2 =37/24, d 3 = 9@24. L’erreur commise est égale à
f u =k
u+2 =|
(u+2) ()
où 5 [{ lu >{ l+1 ]. À l’ordre 3, le coe!cient f u vaut 251/720. La méthode d’Adams-Bashforth est une méthode explicite. Les formules donnant
l’expression de | l+1 sont parfois appelées formules d’Adams ouvertes.L a
méthode d’Adams-Bashforth à (u +1) pas est une méthode stable (si i est
lipschitzienne) et d’ordre (u +1).
Les méthodes de Milne explicites sont fondées sur le même principe que les
méthodes d’Adams-Bashforth mais ici, le schéma donnant | l+1 est exprimé
en fonction de | lu .
½
| l+1 = | lu + k l =(d 0 i l + d 1 i l1 + === + d u i lu )
{ l+1 = { l + k l
Les coe!cients d m sont tabulés. Par exemple à l’ordre u =3,o nad 0 =8/3,
d 1 = 4/3, d 2 =8@3, d 3 =0. L’erreur commise est égale à
f u =k
u+2 =|
(u+2) ()
où 5 [{ lu >{ l+1 ]. À l’ordre 3, le coe!cient f u vaut 14/45.
Dans les méthodes d’Adams-Moulton,l af o n c t i o ni est approchée par son
polynôme d’interpolation aux points { lu > ===> { l >{ l+1 . La méthode est identique à la méthode d’Adams-Bashforth, mais ici le point { l+1 est pris en
plus. De ce fait, la méthode d’Adams-Moulton est une méthode implicite :
à chaque pas de calcul, on suppose connues les valeurs i lu > ===i l >i l+1 .
½
| l+1 = | l + k l =(d 0 i l+1 + d 1 i l + === + d u i lu )
{ l+1 = { l + k l
Les coe!cients d m sont tabulés. Par exemple à l’ordre 3,onad 0 = 251@720,
d 1 = 646@720, d 2 = 264@720, d 3 = 106@720, d 4 = 19@720. L’erreur
commise est égale à
f u =k
u+3 =|
(u+3) ()
où 5 [{ lu >{ l+1 ]. À l’ordre 3, le coe!cient f u vaut 3@160.L am é -
thode d’Adams-Moulton est une méthode implicite. Les formules donnant