7. Équations et systèmes d’équations diérentielles
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deux quand l %@64, et conserve le pas actuel dans les autres cas. La
méthode de Merson est d’ordre 5 pour le calcul de la solution et d’ordre 4
pour le contrôle du pas. Dans la méthode proposée par Fehlberg en 1969,
on calcule
;
A A A A A A A A A A A A A A ?
A A A A A A A A A A A A A A =
n 1 = i ({ l >| l )
n 2 = i ({ l + k@4>| l + kn 1 @4)
n 3 = i ({ l +3k@8>| l +3kn 1 @32 + 9kn 2 @32)
n 4 = i ({ l +12k@13>| l + 439kn 1 @216 8kn 2 + ===
===+ 3680kn 3 @513 845kn 4 @4104)
n 5 = i ({ l + k@2>| l 8kn 1 @27 + 2kn 2 3544kn 3 @2565 + ===
===+ 1859kn 4 @4104 11kn 5 @40)
| l+1 = | l + k(25n 1 @216 + 1408n 3 @2565 + 2197n 4 @4104 n 5 @5)
|
l+1 = | l + k(16n 1 @135 + 6656n 3 @12825 + 28561n 4 @56430 + ===
=== 9n 5 @50 + 2n 6 @55)
D’autres méthodes d’ordre plus élevé ont été proposées. Dormand et Prince
[Dormand, 1980] ont proposé une méthode d’ordre (7,8). Plus récemment,
Cash et Karp [Cash, 1990] ont proposé une méthode d’ordre (4, 5). La
di!culté de ce genre d’algorithmes réside dans le fait d’ajuster au mieux
les coe!cients des deux méthodes. Dans la méthode de Cash-Karp, on
calcule
;
A A A A A A A A A A A A ?
A A A A A A A A A A A A =
n 1 = ki ({ l >| l )
n 2 = ki ({ l + k@5>| l + n 1 @5)
n 3 = ki ({ l +3k@10>| l +3n 1 @40 + 9n 2 @40)
n 4 = ki ({ l +3k@5>| l +3k@10 9n 2 @10 + 6n 3 @5)
n 5 = ki ({ l + k> | l 11n 1 @54 + 5n 2 @2 70n 3 @27 + 35n 4 @27)
n 6 = ki ({ l +7k@8>| l + 1631n 1 @55296 + 175n 2 @512 + 575n 3 @13824 + ===
===+ 44275n 4 @110592 + 253n 5 @4096)
| l+1 = | l +(37n 1 @378 + 250n 3 @621 + 125n 4 @594 + 512n 6 @1771)
|
l+1 = | l + (2825n 1 @27648 + 18575n 3 @48384 + 13525n 4 @55296 + +n 6 @4)
Si on pose
| l+1 = | l + f 1 n 1 + === + f 6 n 6 + R(k
6 )
et
|
l+1 = | l + f
1 n 1 + === + f
6 n 6 + R(k
6 )
Une estimation de l’erreur est donnée par
= | l+1 |
l+1 =
6
X
l=1
(f l f
l )n l
7.19 Méthode de Newmark
La méthode de Newmark est une méthode très utilisée dans les codes
de dynamique. C’est une méthode de résolution directe qui s’applique à