7. Équations et systèmes d’équations diérentielles
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[ =( {> |> }) et X est le nouveau vecteur X =( x> y> z).L es y s t è m ed e
Lorenz dans ces nouvelles coordonnées devient
3
C
˙
x
˙
y
˙
z
4
D =
3
C
00
0
0 (1 + )0
00
4
D
3
C
x
y
z
4
D +
3
C
(x + y)z@(1 + )
(x + y)z@(1 + )
(x y)(x + y)
4
D
Dans ces nouvelles coordonnées, la variété stable H
v
est l’axe des x,l a
variété centrale H
f
est engendrée par le vecteur (0>y>z) et la variété instable est vide. La variété centrale Z
f
du système de Lorenz est tangente à la variété H
f
du système linéarisé. C’est l’ensemble des points
(x> y> z) tels que (y> z)=( j(x)>k(x)). En développant en série formelle
y = d 2 x
2 + d 3 x
3 + d 4 x
4 + === et z = e 2 x
2 + e 3 x
3 + e 4 x
4 + === et en reportant
dans le système ci-dessus, on détermine les coe!cients d l et e m .O nt r o u v e
que la variété centrale est donnée au cinquième ordre par les relations
y =
x
3
(1 + ) 2
+ r(x
5 )
z =
1
x
2 +
2
(1 + )
3 + r(x
5 )
En reportant ces valeurs dans l’équation ˙
x = (x+y)z@(1+),ontrouve
que l’équation déterminant la variété centrale est l’équation diérentielle
˙
x =
(1 + )
µ
x
3 +
+2(1+)
2(1 + ) 2 x
5
¶
+ r(x
6 )
Le coe!cient de x
3
étant négatif, le théorème de la variété centrale assure
que l’origine est un point asymptotiquement stable.
Si maintenant le paramètre est voisin de 1 ( =1+%) on a, à l’ordre
deux en %> une expression approchée des valeurs propres 2 %@(1 + )
et 3 (1 + )+%@(1 + ).S i%?0> les trois valeurs propres ont leurs
parties réelles non nulles. L’origine est un point stationnaire hyperbolique
et stable. Si %A0> l’origine est un point stationnaire hyperbolique. C’est
un col instable. Enfin, si % =0 > l’origine n’est pas hyperbolique et une
bifurcation se produit.
7.17 Méthodes d’Euler
La métho dedeL e onhar dEuler(1707-1783) est une méthode à pas séparé
du premier ordre. Elle consiste à remplacer l’opérateur de dérivation g@g{
par le schéma discret (| l+1 | l )@k= La résolution du problème
½
|
0 ({)=i ({> |)
|({ 0 )=| 0