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Système de Lorenz
7.16 Système de Lorenz
Le système de Lorenz s’écrit
;
?
=
˙
{ = (| {)
˙
| = { | {}
˙
} = {| }
où > et sont des paramètres positifs. Le système linéarisé
3
C
˙
{
˙
|
˙
}
4
D =
3
C
0
10
00
4
D
3
C
{
|
}
4
D
admet au plus trois points critiques. Si 0 ??1> le système admet un seul
point stationnaire (0,0,0) qui est asymptotiquement stable. Quand passe
la valeur 1, nous allons voir que nous avons aaire à une bifurcation. Si A
1, le système admet trois points critiques (0> 0> 0) (
p
( 1)>
p
( 1)>
1)e t(
p
( 1)>
p
( 1)> 1). Le point (0> 0> 0) admet trois
valeurs propres réelles, deux négatives et une positive. Les valeurs propres
des deux autres points stationnaires vérifient l’équation
3 +(1+ + )
2 + ( + ) +2( 1) = 0
Notons d la valeur
d =
( + +3)
1
Lorsque 1 ??d , les trois valeurs propres ont leurs parties réelles négatives. Lorsque = d, deux des valeurs propres sont purement imaginaires,
on a alors une bifurcation de Hopf. Enfin, si Ad , une valeur propre
est réelle négative et les deux autres sont complexes avec une partie réelle
positive. Ces deux points critiques sont donc instables. Ce cas correspond
au schéma classique de l’attracteur de Lorenz ( =8 @3>=2 8 >=1 0 >
d 24> 74===) qui a une orbite qui n’est pas fermée.
Pour le point critique (0> 0> 0), le système admet trois valeurs propres
1 = > 2 et 3 qui vérifient l’équation
2 +(1+) + (1 )=0 =
Lorsque =1> ces trois valeurs propres se réduisent aux expressions 1 =
> 2 =0 > et 3 = (1 + )= L’espace propre associé à la valeur propre
1 est engendré par le vecteur propre de coordonnées (0> 0> 1), celui de 2
est engendré par le vecteur propre de coordonnées (1> 1> 0) et celui de 3
correspond au vecteur propre (> 1> 0). La variété stable H
v
est engendrée
par les deux vecteurs propres associés aux deux valeurs propres négatives
( 1 et 3 ). La variété centrale est engendrée par le vecteur propre de 2 .La
matrice de passage S formée des vecteurs propres permet de diagonaliser
la partie linéaire du système par le changement de variables [ = SX où