7. Équations et systèmes d’équations diérentielles
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structurellement stable du tore avec des points périodiques denses et Smale
a donné en 1967 l’exemple du “fer à cheval”. Ces deux exemples sont des
systèmes structurellement stables en dimension supérieure à deux.
7.15 Bifurcations
Lorsque le champ de vecteurs associé à l’équation diérentielle dépend
d’un paramètre et que pour une valeur particulière de ce paramètre 0
le champ n’est pas un champ de Kupka-Smale, on parle de bifurcation.
Ce type de situation se produit lorsqu’un point singulier n’est pas hyperbolique, lorsqu’une orbite périodique est non hyperbolique ou lorsqu’une
variété stable et une variété instable se coupent non transversalement. Lorsqu’en un point stationnaire, un couple de valeurs propres conjuguées du
champ linéarisé est purement imaginaire, on dit que la bifurcation est une
bifurcation de Hopf . Lorsque ce champ possède une valeur propre nulle de
multiplicité 1, toutes les autres étant de parties réelles non nulles, on parle
de bifurcation col-nœud. Dans le cas d’orbites périodiques, la bifurcation
est supercritique lorsque les orbites bifurquées sont stables et sous-critique
lorsqu’il n’y a pas d’orbite périodique.
Exemple. Considérons le système
½
˙
{ = { $| ({
2 + |
2 ){
˙
| = ${ + | ({
2 + |
2 )|
L’équation caractéristique du système linéarisé
( + l$)( l$)=0
conduit à deux valeurs propres = ± l$= Si ?0> l’origine est un foyer
stable et si A0> l’origine est un foyer instable. Lorsque le paramètre
=0> les valeurs propres sont de parties réelles nulles, une bifurcation est
éventuellement possible. En écrivant le système en coordonnées polaires
(u,)
½ ˙
u = u u
3
˙
= $
on constate que le système admet lorsque A0 une orbite périodique
stable u =
s
. Le système bifurque en l’origine de =0vers A0= C’est
une bifurcation de Hopf supercritique.