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Stabilité structurelle. Théorème de Peixoto
Supposons que : (1) la quantité {j({) A 0 pour { non nul, j(0) = 0,
i (0) ? 0 et j
0 (0) A 0,(2)vjq({)I ({) AnA0 pour |{| su!samment grand
et (3) la fonction J({) primitive de j({) tend vers l’infini quand |{| $4>
alors, dans ces conditions, on démontre que le système admet au moins une
orbite périodique.
7.14 Stabilité structurelle. Théorème de Peixoto
Deux champs de vecteurs i et j sur des variétés X et Y sont orbitalement
équivalents s’il existe un homéomorphisme k de X dans Y qui transforme
chaque orbite de i en une orbite de j, en conservant le sens de la paramétrisation temporelle.
;{> w 1 >k * i (w 1 >{)=* j (w 2 >k({))
Un champ de vecteurs i est structurellement stable si i et i + %x sont
orbitalement équivalents pour tout % appartenant à un intervalle arbitraire
[0>d] et x est une fonction quelconque. Autrement dit, le champ i est
structurellement stable s’il existe un voisinage X de i dans l’ensemble des
champs de vecteurs tel que tout élément de X soit orbitalement équivalent
à i .
Une orbite périodique x(w) du système ˙
{ = i ({) de période W est dite
hyperbolique si aucun des multiplicateurs de Floquet de l’équation ˙
y =
Gi(x(w))y n’est sur le cercle unité (| l | 6 =1), sauf un, qui peut être égal à
l’unité ( =1 ). Le théorème de Peixoto (1962) donne la classification des
systèmes structurellement stables en dimension 2. Il a!rme que si i est un
champ de vecteurs sur une variété compacte orientée de dimension 2, alors
i est structurellement stable si et seulement si
(1) tous les points stationnaires et orbites périodiques sont hyperboliques
et en nombre fini
(2) pour tout couple ($> $
0
) d’orbites fermées, les sous-variétés Z
v ($) et
Z
l ($
0 ) sont transverses, en particulier, il n’existe pas d’orbite reliant des
cols
(3) pour tout point { dont l’orbite n’est pas fermée, il existe un voisinage ouvert X de { et un réel W tel que |w| W entraîne que *(w> X ) _ X
= >= En particulier, il n’existe pas d’orbites récurrentes fermées, c’est-à-dire
d’orbites fermées contenues dans l’un de ses ensembles limites.
Les champs de vecteurs vérifiant les deux premières conditions du théorème de Peixoto sont appelés champs de Kupka-Smale et ceux qui vérifient
les trois conditions sont appelés champs de Morse-Smale. Les champs de
Morse-Smale forment dans l’ensemble des champs de vecteurs sur une variété orientable une partie ouverte dense. La généralisation du théorème
de Peixoto à des dimensions plus grandes se heurte à des di!cultés liées
à l’apparition du chaos. Anosov a construit en 1962 un diéomorphisme
Stabilité structurelle. Théorème de Peixoto
Supposons que : (1) la quantité {j({) A 0 pour { non nul, j(0) = 0,
i (0) ? 0 et j
0 (0) A 0,(2)vjq({)I ({) AnA0 pour |{| su!samment grand
et (3) la fonction J({) primitive de j({) tend vers l’infini quand |{| $4>
alors, dans ces conditions, on démontre que le système admet au moins une
orbite périodique.
7.14 Stabilité structurelle. Théorème de Peixoto
Deux champs de vecteurs i et j sur des variétés X et Y sont orbitalement
équivalents s’il existe un homéomorphisme k de X dans Y qui transforme
chaque orbite de i en une orbite de j, en conservant le sens de la paramétrisation temporelle.
;{> w 1 >
Un champ de vecteurs i est structurellement stable si i et i + %x sont
orbitalement équivalents pour tout % appartenant à un intervalle arbitraire
[0>d] et x est une fonction quelconque. Autrement dit, le champ i est
structurellement stable s’il existe un voisinage X de i dans l’ensemble des
champs de vecteurs tel que tout élément de X soit orbitalement équivalent
à i .
Une orbite périodique x(w) du système ˙
{ = i ({) de période W est dite
hyperbolique si aucun des multiplicateurs de Floquet de l’équation ˙
y =
Gi(x(w))y n’est sur le cercle unité (| l | 6 =1), sauf un, qui peut être égal à
l’unité ( =1 ). Le théorème de Peixoto (1962) donne la classification des
systèmes structurellement stables en dimension 2. Il a!rme que si i est un
champ de vecteurs sur une variété compacte orientée de dimension 2, alors
i est structurellement stable si et seulement si
(1) tous les points stationnaires et orbites périodiques sont hyperboliques
et en nombre fini
(2) pour tout couple ($> $
0
) d’orbites fermées, les sous-variétés Z
v ($) et
Z
l ($
0 ) sont transverses, en particulier, il n’existe pas d’orbite reliant des
cols
(3) pour tout point { dont l’orbite n’est pas fermée, il existe un voisinage ouvert X de { et un réel W tel que |w| W entraîne que *(w> X ) _ X
= >= En particulier, il n’existe pas d’orbites récurrentes fermées, c’est-à-dire
d’orbites fermées contenues dans l’un de ses ensembles limites.
Les champs de vecteurs vérifiant les deux premières conditions du théorème de Peixoto sont appelés champs de Kupka-Smale et ceux qui vérifient
les trois conditions sont appelés champs de Morse-Smale. Les champs de
Morse-Smale forment dans l’ensemble des champs de vecteurs sur une variété orientable une partie ouverte dense. La généralisation du théorème
de Peixoto à des dimensions plus grandes se heurte à des di!cultés liées
à l’apparition du chaos. Anosov a construit en 1962 un diéomorphisme