7. Équations et systèmes d’équations diérentielles
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H,d i r eq u eX et Y sont transverses signifie simplement que X et Y sont
supplémentaires (X Y = H). Deux sous-variétés X et Y de H sont dites
transverses si pour tout point d de l’intersection X _ Y les sous-espaces
vectoriels tangents W d X et W d Y sont transverses. Dans l’espace usuel de
dimension 3, un point est transverse à une surface s’il ne lui appartient pas.
Deux courbes sont transverses si elles ne se rencontrent pas. Une courbe
et une surface sont transverses si la courbe n’est nulle part tangente à la
surface. Deux surfaces sont transverses si en leurs points communs leurs
plans tangents sont distincts. Une sous-variété X de Y est transverse en d
à un champ de vecteurs [ et d n’est pas un point singulier de [ si le sousespace tangent W d X est supplémentaire à la droite R[(d) dans W d Y .D a n s
ce cas, X est de codimension 1 dans Y en d.U n etransversale locale (ou
section de Poincaré) est un segment de droite coupé par des trajectoires
dans le même sens.
Une démonstration du théorème de Poincaré-Bendixson repose sur un
lemme qui a!rme que si une trajectoire coupe une transversale locale plusieurs fois, alors les points d’intersection se déplacent sur la transversale.
Le théorème de Poincaré-Bendixson a!rme que si une trajectoire ({ 0 ) à
partir d’un certain temps entre et reste dans une région G fermée bornée
qui ne contient pas de point stationnaire, alors il existe au moins une orbite
périodique dans G qui est un ensemble $-limite de { 0 .
Exemple 1. Considérons le système
½
˙
{ = | {({
2 + |
2 )
˙
| = { |({
2 + |
2 )
qui s’écrit en coordonnées polaires ˙
u = u(u 1) et ˙
=1= Dans le domaine
G compris entre les cercles de rayon 1/2 et 2, il n’y a pas de point stationnaire (le seul point étant l’origine) et comme ˙
uA0 si u?1@2 et ˙
u?0
si uA2, toutes les trajectoires restent dans G. Le théorème de Poincaré
a!rme qu’il existe un cercle limite (qui est ici le cercle de rayon 1).
Exemple 2. Appliquons à l’oscillateur d’équation
¨
{ + i ({)˙ { + j({)=0
le théorème de Poincaré-Bendixson. Notons I ({) une primitive de la fonction i
I ({)=
Z {
0
i (x)gx
et écrivons l’équation sous la forme du système
½
˙
{ = | I ({)
˙
| = j({)
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H,d i r eq u eX et Y sont transverses signifie simplement que X et Y sont
supplémentaires (X Y = H). Deux sous-variétés X et Y de H sont dites
transverses si pour tout point d de l’intersection X _ Y les sous-espaces
vectoriels tangents W d X et W d Y sont transverses. Dans l’espace usuel de
dimension 3, un point est transverse à une surface s’il ne lui appartient pas.
Deux courbes sont transverses si elles ne se rencontrent pas. Une courbe
et une surface sont transverses si la courbe n’est nulle part tangente à la
surface. Deux surfaces sont transverses si en leurs points communs leurs
plans tangents sont distincts. Une sous-variété X de Y est transverse en d
à un champ de vecteurs [ et d n’est pas un point singulier de [ si le sousespace tangent W d X est supplémentaire à la droite R[(d) dans W d Y .D a n s
ce cas, X est de codimension 1 dans Y en d.U n etransversale locale (ou
section de Poincaré) est un segment de droite coupé par des trajectoires
dans le même sens.
Une démonstration du théorème de Poincaré-Bendixson repose sur un
lemme qui a!rme que si une trajectoire coupe une transversale locale plusieurs fois, alors les points d’intersection se déplacent sur la transversale.
Le théorème de Poincaré-Bendixson a!rme que si une trajectoire ({ 0 ) à
partir d’un certain temps entre et reste dans une région G fermée bornée
qui ne contient pas de point stationnaire, alors il existe au moins une orbite
périodique dans G qui est un ensemble $-limite de { 0 .
Exemple 1. Considérons le système
½
˙
{ = | {({
2 + |
2 )
˙
| = { |({
2 + |
2 )
qui s’écrit en coordonnées polaires ˙
u = u(u 1) et ˙
=1= Dans le domaine
G compris entre les cercles de rayon 1/2 et 2, il n’y a pas de point stationnaire (le seul point étant l’origine) et comme ˙
uA0 si u?1@2 et ˙
u?0
si uA2, toutes les trajectoires restent dans G. Le théorème de Poincaré
a!rme qu’il existe un cercle limite (qui est ici le cercle de rayon 1).
Exemple 2. Appliquons à l’oscillateur d’équation
¨
{ + i ({)˙ { + j({)=0
le théorème de Poincaré-Bendixson. Notons I ({) une primitive de la fonction i
I ({)=
Z {
0
i (x)gx
et écrivons l’équation sous la forme du système
½
˙
{ = | I ({)
˙
| = j({)