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Classification des flots bidimensionnels
7.12 Classification des flots bidimensionnels
Un flot bidimensionnel vérifie l’équation diérentielle
µ
˙
{
˙
|
¶
=
µ
de
fg
¶µ
{
|
¶
Désignons par D la matrice du système ci-dessus. Le polynôme caractéristique de ce système s’écrit
S ({)={
2 wu(D){ +det(D)
Son discriminant est = wu(D)
2 4det(D)= Les diérentes possibilités
conduisent à définir les cas suivants.
Cols.S ighw(D) ? 0, alors les valeurs propres de D sont réelles et de signes
opposés et le flot est hyperbolique. On dit que les courbes intégrales forment
un col. Notons ?0 ? , les valeurs propres de D. Les orbites suivent
l’hyperbole { = { 0 (|@| 0 )
@
.L ’ a x e{ =0est la variété instable. L’axe
| =0est la variété stable.
Nœuds.S ighw(D) A 0 et wu(D)
2 4 det(D)> alors les valeurs propres de D
sont réelles et de même signe. On dit qu’il s’agit d’un nœud qui est attractif
ou stable si wu(D) ? 0 et répulsif ou instable si wu(D) A 0.L en œ u de s t
dit propre lorsque D est un multiple de l’identité, et impropre dans le cas
contraire.
Foyers.S iwu(D) 6 =0et si wu(D)
2 ? 4 det(D)> alors les valeurs propres de D
sont complexes de partie réelle wu(D)@2 et de partie imaginaire non nulle.
On dit que les courbes forment un foyer attractif ou stable si wu(D) ? 0 et
répulsif ou instable si wu(D) A 0.
Centres.S ighw(D) ? 0 et wu(D)=0 > alors les valeurs propres de D sont
imaginaires pures ±l> A 0. Les courbes forment un centre. Les orbites
sont les cercles de centre 0, périodiques de même période 2@=
Col-nœuds.S ighw(D)=0 > alors D n’est pas inversible. On se trouve dans
un cas dégénéré. Si wu(D) 6 =0les valeurs propres sont 0 et ,o np a r l ed e
nœud-col. Les orbites sont l’axe | =0et les demi-droites { = d, |A0 et
{ = d> | ? 0.S iwu(D)=0et D non nulle, les orbites sont les points (0>e)
et les droites { = d.
7.13 Théorème de Poincaré-Bendixson
Deux sous-espaces vectoriels X et Y d’un espace vectoriel H de dimension
finie sont transverses si X + Y = H ou si
glp(X _ Y )=glp(X )+glp(Y ) glp(H)
En général, la somme des dimensions des deux sous-espaces est inférieure
à la dimension de H, mais lorsque cette somme est égale à la dimension de
Classification des flots bidimensionnels
7.12 Classification des flots bidimensionnels
Un flot bidimensionnel vérifie l’équation diérentielle
µ
˙
{
˙
|
¶
=
µ
de
fg
¶µ
{
|
¶
Désignons par D la matrice du système ci-dessus. Le polynôme caractéristique de ce système s’écrit
S ({)={
2 wu(D){ +det(D)
Son discriminant est = wu(D)
2 4det(D)= Les diérentes possibilités
conduisent à définir les cas suivants.
Cols.S ighw(D) ? 0, alors les valeurs propres de D sont réelles et de signes
opposés et le flot est hyperbolique. On dit que les courbes intégrales forment
un col. Notons ?0 ? , les valeurs propres de D. Les orbites suivent
l’hyperbole { = { 0 (|@| 0 )
@
.L ’ a x e{ =0est la variété instable. L’axe
| =0est la variété stable.
Nœuds.S ighw(D) A 0 et wu(D)
2 4 det(D)> alors les valeurs propres de D
sont réelles et de même signe. On dit qu’il s’agit d’un nœud qui est attractif
ou stable si wu(D) ? 0 et répulsif ou instable si wu(D) A 0.L en œ u de s t
dit propre lorsque D est un multiple de l’identité, et impropre dans le cas
contraire.
Foyers.S iwu(D) 6 =0et si wu(D)
2 ? 4 det(D)> alors les valeurs propres de D
sont complexes de partie réelle wu(D)@2 et de partie imaginaire non nulle.
On dit que les courbes forment un foyer attractif ou stable si wu(D) ? 0 et
répulsif ou instable si wu(D) A 0.
Centres.S ighw(D) ? 0 et wu(D)=0 > alors les valeurs propres de D sont
imaginaires pures ±l> A 0. Les courbes forment un centre. Les orbites
sont les cercles de centre 0, périodiques de même période 2@=
Col-nœuds.S ighw(D)=0 > alors D n’est pas inversible. On se trouve dans
un cas dégénéré. Si wu(D) 6 =0les valeurs propres sont 0 et ,o np a r l ed e
nœud-col. Les orbites sont l’axe | =0et les demi-droites { = d, |A0 et
{ = d> | ? 0.S iwu(D)=0et D non nulle, les orbites sont les points (0>e)
et les droites { = d.
7.13 Théorème de Poincaré-Bendixson
Deux sous-espaces vectoriels X et Y d’un espace vectoriel H de dimension
finie sont transverses si X + Y = H ou si
glp(X _ Y )=glp(X )+glp(Y ) glp(H)
En général, la somme des dimensions des deux sous-espaces est inférieure
à la dimension de H, mais lorsque cette somme est égale à la dimension de