7. Équations et systèmes d’équations diérentielles
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Exemple. Le système d’équations
½
˙
{ = {
˙
| = | + {
2
admet l’origine (0,0) comme point stationnaire. Le système linéarisé ˙
{ = {>
˙
| = | admet pour variété stable l’ensemble des points { =0 ,e tp o u r
variété instable l’ensemble des points | =0 . La variété locale est obtenue
à partir d’un développement en série de
|({)=D({)=
X
l2
d l {
l
en substituant dans l’équation
˙
| = | + {
2 =
X
l2
d l {
l + {
2
et comme
˙
| =˙ {
CD
C{
=
X
l2
ld l {
l
on obtient en égalant terme à terme les deux expressions précédentes d 2 +
1=2 d 2 et d m = md m si m 3,d ’ o ùd 2 =1 @3 et d m =0pour m 3.L a
variété locale instable est donc l’ensemble
Z
l = {({> |)>|=
1
3
{
3 }
On vérifie sur cet exemple que la variété locale est tangente à la variété H
l
.
Les théorèmes de Hartman-Grobman conduisent à la classification des
champs de vecteurs au voisinage d’un point stationnaire hyperbolique. Si
{ =0est un point hyperbolique stationnaire de
=
{ = i ({), alors il existe une
application inversible continue k définie sur un voisinage de 0 (i.e. un homomorphisme local) qui prend localement les orbites du flot non linéaire pour
celles du flot linéarisé h{s(wGi (0)). On a équivalence topologique entre ces
flots. Les points hyperboliques se conservent sous l’eet d’une perturbation. Si { =0est un point stationnaire hyperbolique de
=
{ = i ({), alors
l’équation perturbée ˙
{ = i ({)+%x({) où x est une fonction indéfiniment
dérivable admet un point stationnaire hyperbolique au voisinage de l’origine du même type que le point hyperbolique du système non perturbé.
Si le couple (p v >p l ) désigne les dimensions de la variété stable et de la
variété instable du système d’origine, c’est-à-dire le nombre, compté avec
leur multiplicité, de valeurs propres dont la partie réelle est négative (resp.
positive) du point stationnaire hyperbolique { =0du système ˙
{ = i ({)>
alors le même couple correspond aux dimensions des variétés stables et
i n s t a b l e sd us y s t è m ep e r t u r b é .