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Hyperbolicité. Variété centrale
˙
{ = Gi(0){, obtenue à partir de la dérivée de i> dépend des valeurs propres
de la matrice Gi(0), de même que la structure locale des variétés centrales,
stables et instables. Lorsque le point stationnaire est hyperbolique, on a
plusieurs résultats remarquables qui sont présentés dans ce paragraphe.
Soit ( 1 > ===> q ) les valeurs propres de la matrice Gi(0)= On dit que
la matrice Gi(0) est résonante s’il existe des entiers (p 1 > ===> p q ) dont la
somme est supérieure à 2 tels qu’il existe une valeur propre v qui soit égale
au produit scalaire des vecteurs p =(p 1 > ===> p q ) et =( 1 > ===> q )
q
X
m=0
p m m = v
La quantité |p| = p 1 + === + p q 2 est appelée ordre de la résonance.O n
démontre que si Gi(0) est non résonante et diagonalisable, alors il existe
un changement de coordonnées locales au voisinage de l’origine, | = x({)
tel que ˙
| = Gi(0)|.
Un point stationnaire est hyperbolique si la dérivée Gi({) en ce point
n’a pas de valeur propre nulle ou purement imaginaire (Uh( l ) 6 =0 ), i.e.
toutes les valeurs propres ont leur partie réelle non nulle.
Pour un système linéaire ˙
{ = D{, admettant un point critique en { =0,
on définit la variété centrale H
f
comme l’espace invariant engendré par les
vecteurs propres associés aux valeurs propres de la matrice D telles que
Uh( l )=0 .L avariété stable H
v
est l’espace invariant engendré par les
vecteurs propres associés aux valeurs propres de la matrice D telles que
Uh( l ) ? 0 et la variété instable H
l
est l’espace invariant engendré par les
vecteurs propres associés aux valeurs propres de la matrice D telles que
Uh( l ) A 0= Si la variété centrale est réduite à l’ensemble vide, alors la
v a r i é t és t a b l ee s tl ’ e n s e m b l e
H
v = {{ 5 R
q > lim
w$+4
h
wD { =0}
La variété instable est obtenue de la même façon en remplaçant w par w.
Pour un système non linéaire quelconque ˙
{ = i ({)> de flot intégral !(w> {)>
un point stationnaire { et X un voisinage de {, on définit la variété locale
stable
Z
v = {| 5 X> lim
w$+4
!(w> |)={> !(w> |) 5 X> ;w 0}
et la variété locale instable par
Z
l = {| 5 X> lim
w$4
!(w> |)={> !(w> |) 5 X> ;w 0}
On démontre que si { =0est un point hyperbolique stationnaire de
˙
{ = i ({)>H
v
et H
l
les variétés stables et instables du système linéarisé
˙
{ = Gi(0){> alors il existe deux variétés locales stables et instables Z
v
et
Z
l
de même dimension que H
v
et H
l
respectivement et tangentes à H
v
et
H
l
à l’origine.
Hyperbolicité. Variété centrale
˙
{ = Gi(0){, obtenue à partir de la dérivée de i> dépend des valeurs propres
de la matrice Gi(0), de même que la structure locale des variétés centrales,
stables et instables. Lorsque le point stationnaire est hyperbolique, on a
plusieurs résultats remarquables qui sont présentés dans ce paragraphe.
Soit ( 1 > ===> q ) les valeurs propres de la matrice Gi(0)= On dit que
la matrice Gi(0) est résonante s’il existe des entiers (p 1 > ===> p q ) dont la
somme est supérieure à 2 tels qu’il existe une valeur propre v qui soit égale
au produit scalaire des vecteurs p =(p 1 > ===> p q ) et =( 1 > ===> q )
q
X
m=0
p m m = v
La quantité |p| = p 1 + === + p q 2 est appelée ordre de la résonance.O n
démontre que si Gi(0) est non résonante et diagonalisable, alors il existe
un changement de coordonnées locales au voisinage de l’origine, | = x({)
tel que ˙
| = Gi(0)|.
Un point stationnaire est hyperbolique si la dérivée Gi({) en ce point
n’a pas de valeur propre nulle ou purement imaginaire (Uh( l ) 6 =0 ), i.e.
toutes les valeurs propres ont leur partie réelle non nulle.
Pour un système linéaire ˙
{ = D{, admettant un point critique en { =0,
on définit la variété centrale H
f
comme l’espace invariant engendré par les
vecteurs propres associés aux valeurs propres de la matrice D telles que
Uh( l )=0 .L avariété stable H
v
est l’espace invariant engendré par les
vecteurs propres associés aux valeurs propres de la matrice D telles que
Uh( l ) ? 0 et la variété instable H
l
est l’espace invariant engendré par les
vecteurs propres associés aux valeurs propres de la matrice D telles que
Uh( l ) A 0= Si la variété centrale est réduite à l’ensemble vide, alors la
v a r i é t és t a b l ee s tl ’ e n s e m b l e
H
v = {{ 5 R
q > lim
w$+4
h
wD { =0}
La variété instable est obtenue de la même façon en remplaçant w par w.
Pour un système non linéaire quelconque ˙
{ = i ({)> de flot intégral !(w> {)>
un point stationnaire { et X un voisinage de {, on définit la variété locale
stable
Z
v = {| 5 X> lim
w$+4
!(w> |)={> !(w> |) 5 X> ;w 0}
et la variété locale instable par
Z
l = {| 5 X> lim
w$4
!(w> |)={> !(w> |) 5 X> ;w 0}
On démontre que si { =0est un point hyperbolique stationnaire de
˙
{ = i ({)>H
v
et H
l
les variétés stables et instables du système linéarisé
˙
{ = Gi(0){> alors il existe deux variétés locales stables et instables Z
v
et
Z
l
de même dimension que H
v
et H
l
respectivement et tangentes à H
v
et
H
l
à l’origine.