7. Équations et systèmes d’équations diérentielles
155
diérentielles de ce type qui ont des points singuliers non paramétriques
peuvent être classées en cinquante équations canoniques. Ces cinquante
équations se résolvent avec des fonctions classiques ou transcendantes à
l’exception de six équations, appelées transcendantes de Painlevé, qui nécessitent l’introduction de nouvelles fonctions (voir [Ince,1956], ou [Davis,
1962]). Les solutions des cinq premières transcendantes de Painlevé sont
des fonctions analytiques en {= La première transcendante de Painlevé est
solution de l’équation
|
00 =6|
2 + {
La deuxième transcendante de Painlevé est solution de l’équation (d est
une constante complexe)
|
00 =2|
3 + {| + d
La troisième transcendante de Painlevé est solution de l’équation (d> e> f> g
sont des constantes complexes eg 6 =0)
|
00 = |
02 @| + h
{ (d|
2 + e)+h
2{ (f|
3 + g@|)
La quatrième transcendante de Painlevé est solution de l’équation (d> e sont
des constantes complexes)
|
00 = |
02 @2| +3|
3 @2+4{|
2 +2({
2 d)| + e@|
La cinquième transcendante de Painlevé est solution de l’équation (d> e> f> g
sont des constantes complexes eg 6 =0)
|
00 = |
02
µ 1
2|
+
1
| 1
¶
|
0
{
+
(| 1)
2
{ 2
µ
d| +
e
|
¶
+f
|
{
+ g
|(| +1)
| 1
La solution de la sixième équation
|
00 =
1
2
|
02
µ 1
|
+
1
| 1
+
1
| {
¶
µ 1
{
+
1
{ 1
+
1
| {
¶
|
0
+
|(| 1)(| {)
{ 2 ({ 1) 2
µ
d + e
{
| 2 + f
{ 1
(| 1) 2 + g
{({ 1)
(| {) 2
¶
admet trois points critiques, { =0> 1 et 4.
Les transcendantes de Painlevé jouent un rôle important dans la théorie
des systèmes intégrables et des solitons.
7.11 Hyperbolicité. Variété centrale
On démontre que l’existence d’une transformation locale de changement de coordonnées d’un système ˙
{ = i ({) par une forme linéarisée