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Transcendantes de Painlevé
Les relations d’additivité
vq(x + y)=
vq x=fq y=gq y + vq y=fq x=gq x
1 n 2 vq 2 x=vq 2 y
fq(x + y)=
fq x=fq y vq x=gq x=vq y=gq y
1 n 2 vq 2 x=vq 2 y
gq(x + y)=
gq x=gq y n
2 =vq x=fq x=vq y=gq y
1 n 2 vq 2 x=vq 2 y
L’intégrale elliptique du second type est définie par les formules
H(!> n)=
Z !
0
p
1 n 2 sin
2 wgw =
Z }
0
r
1 n 2 { 2
1 { 2 g{
Les fonctions H(@2>n) et H(@2>n
0 ) sont solutions de l’équation diérentielle
(1 n
2 )
g
2 x
gn 2 +
1 n
2
n
gx
gn
+ x =0
L’intégrale elliptique de troisième type est définie par
U(!> q> n)=
Z !
0
gw
(1 + q sin
2 w)
p
1 n 2 sin
2 w
=
Z }
0
g{
(1 + q{ 2 )
p
(1 { 2 )(1 n 2 { 2 )
Exemple. L’équation diérentielle
|
00 = d| + e|
3
admet comme solutions les fonctions de la forme
|({)=f=vq(y> n)
où y = { { 0 , et { 0 sont des constantes, f est déterminé par l’équation
f
2 = 2(
2 + d)@e et n
2 = (
2 + d)@
2 .
7.10 Transcendantes de Painlevé
En considérant les équations diérentielles du second ordre de la forme
g
2 |
g{ 2 = i (|> |
0 >{)
dans laquelle la fonction i est une fonction rationnelle en | et |
0
, dérivée
de | par rapport à { et analytique en {, Painlevé, Gambier et Picard ont
cherché à classer les équations non linéaires du second ordre. Les équations