7. Équations et systèmes d’équations diérentielles
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deuxième ou troisième type. Une intégrale elliptique du premier type dans
sa forme normale de Legendre s’écrit pour 0 ?n?1
x =
Z !
0
1
p
1 n 2 sin
2 w
gw = I (!> n)
la variable ! = dp x est appelée l’amplitude, n le module de l’intégrale x
et n
0 =1 n
2
le module complémentaire. Cette intégrale est aussi égale à
x =
Z }
0
g{
p
(1 { 2 )(1 n 2 { 2 )
Les fonctions I (@2>n) et I (@2>n
0 ) sont solutions de l’équation diérentielle
(1 n
2 )
g
2 x
gn 2 +
1 3n
2
n
gx
gn
x =0
L’inverse de cette intégrale de première espèce définit la fonction elliptique
de Jacobi vq x= Les trois fonctions elliptiques, introduites par Jacobi en
1829, sont définies par les relations
vq x =s i n !
fq x =c o s !
gq x =
q
1 n 2 sin
2 !
On introduit également la fonction wq x =tan!= Ces fonctions dégénèrent
en fonctions trigonométriques pour n =0
vq(x> 0) = sin xf q (x> 0) = cos x
et en fonctions hyperboliques pour n =1
vq(x> 1) = tanh xf q (x> 1) = 1@ cosh x
Les fonctions elliptiques vérifient les relations usuelles
vq
2 x + fq
2 x =1
gq
2 x + n
2 vq
2 x =1
gq
2 x n
2 fq
2 x =1 n
2
Les dérivées sont données par les relations
gv qx
gx
= fq x=gq x
gf qx
gx
= vq x=gq x
gg qx
gx
= n
2 vq x=fq x