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Intégrales et fonctions elliptiques
d(w) est une fonction de période W . Supposons que l’équation admette une
solution
{(w)={ 0 exp(
Z w
0
d(v)gv)={ 0 *(w)
La fonction *(w) vérifie *(W )*(w)=*(w + W ) et par conséquent *(qW )=
*(W )
q = Le nombre *(W )=h
W
est appelé multiplicateur de Floquet et
est l’exposant de Floquet (défini à une constante 2ln@W près). En notant
x(w)=*(w)h
W
la solution de l’équation diérentielle s’écrit
{(w)={ 0 h
W x(w)
Par conséquent si la partie réelle de l’exposant de Floquet est positive, la
solution tend vers zéro et si elle est négative, la solution diverge. Dans le
cas multidimensionnel, le résultat est similaire. Notons !(w) une matrice
fondamentale, !(0) = L solution du système d’équations ˙
{ = D(w){ où D(w)
est une matrice d’ordre q àcoe!cients périodiques de période W . Les valeurs
propres l de la matrice fondamentale ! sont les multiplicateurs de Floquet
et les nombres l définis par l = h
lW
sont les exposants de Floquet.L e
théorème de Floquet a!rme que si tous les modules des multiplicateurs de
Floquet sont inférieurs à 1 (ou si la partie réelle des exposants de Floquet
est négative Uh( l ) ? 0), alors l’origine est asymptotiquement stable. Si au
moins un des modules des multiplicateurs est plus grand que 1 (au moins
une partie réelle des exposants de Floquet est positive), alors les solutions
divergent. Si tous les modules des multiplicateurs de Floquet sont inférieurs
ou égaux à 1 et si les multiplicateurs de modules égaux à 1 sont simples,
alors la solution est stable.
7.9 Intégrales et fonctions elliptiques
Les fonctions elliptiques ressemblent étrangement aux fonctions circulaires. Elles sont définies à partir de l’inverse d’une intégrale elliptique et
permettent la résolution de nombreuses équations diérentielles, comme par
exemple la résolution des oscillations d’un pendule de longueur o,s o u m i sà
une pesanteur j
o
g
2
gw 2 = j sin
Une intégrale elliptique est l’intégrale d’une fonction rationnelle U(}> z)
dans laquelle z
2
est un polynôme de degré 3 ou 4 en }. En général, une
intégrale elliptique ne peut s’exprimer avec des fonctions élémentaires. On
démontre qu’une intégrale elliptique s’écrit comme somme de fonctions élémentaires et d’une combinaison linéaire d’intégrales elliptiques du premier,
Intégrales et fonctions elliptiques
d(w) est une fonction de période W . Supposons que l’équation admette une
solution
{(w)={ 0 exp(
Z w
0
d(v)gv)={ 0 *(w)
La fonction *(w) vérifie *(W )*(w)=*(w + W ) et par conséquent *(qW )=
*(W )
q = Le nombre *(W )=h
W
est appelé multiplicateur de Floquet et
est l’exposant de Floquet (défini à une constante 2ln@W près). En notant
x(w)=*(w)h
W
la solution de l’équation diérentielle s’écrit
{(w)={ 0 h
W x(w)
Par conséquent si la partie réelle de l’exposant de Floquet est positive, la
solution tend vers zéro et si elle est négative, la solution diverge. Dans le
cas multidimensionnel, le résultat est similaire. Notons !(w) une matrice
fondamentale, !(0) = L solution du système d’équations ˙
{ = D(w){ où D(w)
est une matrice d’ordre q àcoe!cients périodiques de période W . Les valeurs
propres l de la matrice fondamentale ! sont les multiplicateurs de Floquet
et les nombres l définis par l = h
lW
sont les exposants de Floquet.L e
théorème de Floquet a!rme que si tous les modules des multiplicateurs de
Floquet sont inférieurs à 1 (ou si la partie réelle des exposants de Floquet
est négative Uh( l ) ? 0), alors l’origine est asymptotiquement stable. Si au
moins un des modules des multiplicateurs est plus grand que 1 (au moins
une partie réelle des exposants de Floquet est positive), alors les solutions
divergent. Si tous les modules des multiplicateurs de Floquet sont inférieurs
ou égaux à 1 et si les multiplicateurs de modules égaux à 1 sont simples,
alors la solution est stable.
7.9 Intégrales et fonctions elliptiques
Les fonctions elliptiques ressemblent étrangement aux fonctions circulaires. Elles sont définies à partir de l’inverse d’une intégrale elliptique et
permettent la résolution de nombreuses équations diérentielles, comme par
exemple la résolution des oscillations d’un pendule de longueur o,s o u m i sà
une pesanteur j
o
g
2
gw 2 = j sin
Une intégrale elliptique est l’intégrale d’une fonction rationnelle U(}> z)
dans laquelle z
2
est un polynôme de degré 3 ou 4 en }. En général, une
intégrale elliptique ne peut s’exprimer avec des fonctions élémentaires. On
démontre qu’une intégrale elliptique s’écrit comme somme de fonctions élémentaires et d’une combinaison linéaire d’intégrales elliptiques du premier,