7. Équations et systèmes d’équations diérentielles
151
totale de Y soit strictement négative pour tous les points du voisinage de
0s a u fe n0
˙
Y ({) ? 0> ;{ 5 X \{0}
alors l’origine est asymptotiquement stable.
Exemple. Considérons l’oscillateur ¨
| d ˙
{(2{ 1) + { =0 > où d est une
constante positive. Écrit sous la forme d’un système
½
˙
{ = | + d({
2 {)
˙
| = {
l’oscillateur admet une fonction de Lyapunov Y ({> |)=( {
2 + |
2 )@2 de
dérivée totale ˙
Y ({> |)={= ˙
{ + | ˙
| = d{
2 ({ 1) toujours strictement
négative au voisinage de 0. Le point stationnaire (0,0) est par conséquent
asymptotiquement stable.
Le théorème d’instabilité de N. Tchétaev, parfois appelé troisième théorème de Lyapunov a!rme que s’il existe une fonction Y définie au voisinage
de l’origine, pour laquelle { =0est un point stationnaire de l’équation différentielle ˙
{ = i ({)> d ed é r i v é et o t a l epo s i t i v ee ts ’ i le x i s t eu npo i n t{ 0 du
voisinage de l’origine tel que Y ({ 0 ) ˙
Y ({ 0 ) A 0> alors l’origine est un point
instable.
Exemple. Considérons l’équation suivante
½
˙
{ = | + {
2
˙
| = { + |
2
La fonction Y ({> |)=({
3 + |
3 )@3+{| est une fonction de dérivée de Lie
O i Y ({> |)=(| + {
2 )
2 +({ + |
2 )
2
positive. Le point de coordonnées (%> %)a v e c%A0 vérifie la condition du
théorème, par conséquent l’origine est un point instable.
Les résultats de stabilité s’étendent dans certains cas au problème linéarisé. Si ˙
{ = i ({) a une linéarisation ˙
{ = D{ où D est le jacobien de i en
{ =0,e ts il am a t r i c eD a q valeurs propres distinctes dont chacune a une
partie réelle strictement négative, alors { =0est asymptotiquement stable.
7.8 Solutions périodiques. Théorie de Floquet
Floquet a étudié le comportement des solutions dans le cas périodique.
Considérons tout d’abord l’équation ˙
{ = d(w){ sur la droite réelle lorsque