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Stabilité de Lyapunov
dite quasi asymptotiquement stable si pour toutes les solutions proches de
{(w 0 ),v é r i fi a n t|{(w 0 ) |(w 0 )| ?>on a
lim
w$4
|{(w) |(w)| =0
Un point ou une solution est asymptotiquement stable si elle est à la fois
stable et quasi-asymptotiquement stable. Par exemple, pour l’équation différentielle donnée en coordonnées polaires ˙
u =0 , ˙
=1 , dont les solutions
=
u = u 0 , ˙
= w + ˙
0 sont des cercles parcourus à vitesse constante (égale à
1), l’origine est stable, mais n’est pas quasi asymptotiquement stable. En
revanche, les solutions de l’équation diérentielle ˙
{ = { sont asymptotiquement stables. En eet, les solutions sont de la forme {(w)={ 0 h
(ww0)
.
Deux solutions proches vérifient
lim
w$4
|{(w) |(w)| = lim
w$4
|{ 0 | 0 | h
(ww0) =0
Par changement de variables, on ramène l’étude de la stabilité au voisinage
de l’origine. La fonction de Lyapunov Y associée à l’équation diérentielle
˙
{ = i ({) est une fonction continûment diérentiable définie sur un voisinage ouvert X de l’origine qui s’annule à l’origine Y (0) = 0 et reste positive
au voisinage de l’origine Y ({) A 0, ;{ 5 X \0> et dont la dérivée le long
des trajectoires (appelée dérivée totale ou dérivée de Lie selon le champ de
vecteurs i associé à l’équation diérentielle) reste négative
O i Y = ˙
Y =˙ {=uY = i=uY =
X
i l ({)=
CY
C{ l
0
;{ 5 X
Le premier théorème de Lyapunov a!rme que s’il existe une fonction de
Lyapunov Y définie au voisinage de l’origine pour laquelle { =0est un
point stationnaire de l’équation diérentielle ˙
{ = i ({)> alors l’origine est
stable au sens de Lyapunov.
Exemple. L’oscillateur non linéaire ¨
{ + f ˙
{ + d{ + e{
3 =0> où les constantes
d> e> f sont positives peut s’écrire sous la forme d’un système
½
˙
{ = |
˙
| = d{ f| e{
3
La fonction Y ({> |)=2 d{
2 + e{
4 +2|
2
est positive et de dérivée totale
O [ Y = ˙
Y ({> |)=4f|
2
toujours négative. Y ({> |) est une fonction de
Lyapunov sur tout ouvert borné contenant l’origine. Le point stationnaire
(0,0) est par conséquent stable.
Le second théorème de Lyapunov a!rme que s’il existe une fonction de
Lyapunov Y définie au voisinage de l’origine pour laquelle { =0est un
point stationnaire de l’équation diérentielle ˙
{ = i ({) telle que la dérivée
Stabilité de Lyapunov
dite quasi asymptotiquement stable si pour toutes les solutions proches de
{(w 0 ),v é r i fi a n t|{(w 0 ) |(w 0 )| ?>on a
lim
w$4
|{(w) |(w)| =0
Un point ou une solution est asymptotiquement stable si elle est à la fois
stable et quasi-asymptotiquement stable. Par exemple, pour l’équation différentielle donnée en coordonnées polaires ˙
u =0 , ˙
=1 , dont les solutions
=
u = u 0 , ˙
= w + ˙
0 sont des cercles parcourus à vitesse constante (égale à
1), l’origine est stable, mais n’est pas quasi asymptotiquement stable. En
revanche, les solutions de l’équation diérentielle ˙
{ = { sont asymptotiquement stables. En eet, les solutions sont de la forme {(w)={ 0 h
(ww0)
.
Deux solutions proches vérifient
lim
w$4
|{(w) |(w)| = lim
w$4
|{ 0 | 0 | h
(ww0) =0
Par changement de variables, on ramène l’étude de la stabilité au voisinage
de l’origine. La fonction de Lyapunov Y associée à l’équation diérentielle
˙
{ = i ({) est une fonction continûment diérentiable définie sur un voisinage ouvert X de l’origine qui s’annule à l’origine Y (0) = 0 et reste positive
au voisinage de l’origine Y ({) A 0, ;{ 5 X \0> et dont la dérivée le long
des trajectoires (appelée dérivée totale ou dérivée de Lie selon le champ de
vecteurs i associé à l’équation diérentielle) reste négative
O i Y = ˙
Y =˙ {=uY = i=uY =
X
i l ({)=
CY
C{ l
0
;{ 5 X
Le premier théorème de Lyapunov a!rme que s’il existe une fonction de
Lyapunov Y définie au voisinage de l’origine pour laquelle { =0est un
point stationnaire de l’équation diérentielle ˙
{ = i ({)> alors l’origine est
stable au sens de Lyapunov.
Exemple. L’oscillateur non linéaire ¨
{ + f ˙
{ + d{ + e{
3 =0> où les constantes
d> e> f sont positives peut s’écrire sous la forme d’un système
½
˙
{ = |
˙
| = d{ f| e{
3
La fonction Y ({> |)=2 d{
2 + e{
4 +2|
2
est positive et de dérivée totale
O [ Y = ˙
Y ({> |)=4f|
2
toujours négative. Y ({> |) est une fonction de
Lyapunov sur tout ouvert borné contenant l’origine. Le point stationnaire
(0,0) est par conséquent stable.
Le second théorème de Lyapunov a!rme que s’il existe une fonction de
Lyapunov Y définie au voisinage de l’origine pour laquelle { =0est un
point stationnaire de l’équation diérentielle ˙
{ = i ({) telle que la dérivée