7. Équations et systèmes d’équations diérentielles
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Un ensemble D est positivement invariant (resp. négativement invariant)
si ;{ 5 D> *(w> {) 5 D> ;wA0 (resp. w?0). La courbe intégrale ou la
trajectoire passant par { est l’ensemble
({)= ^
w5R
*(w> {)
et la semi-trajectoire positive est l’ensemble
+ ({)= ^
w0
*(w> {)
On démontre que l’ensemble D est invariant si et seulement si ({)
D> ;{ 5 D= L’ensemble $-limite est l’intersection des fermetures des semitrajectoires positives
$({)= _
|5({)
+ (|)
Si $({) est invariant et si
+ ({) est borné, alors $({) est compact.
Exemples. (1) L’équation diérentielle
=
{ = { avec {(0) = 0 admet comme
solution les courbes {(w)=Fh
w
. Le flot associé est donc *(w> {)=Fh
w
.
L’ensemble $-limite est réduit à {0}. Si { =0 , ({)=0 ,m a i ss i{ est
positif ou négatif, l’ensemble -limite est vide.
(2) Considérons le système d’équations
½
˙
{ = | + {(1 {
2 |
2 )
˙
| = { + |(1 {
2 |
2 )
En coordonnées polaires, ce système équivaut à ˙
u = u(1 u
2 )= Les points
d’équilibre sont obtenus pour u =0et u =1.L ’ e n s e m b l e$-limite est égal
au cercle de rayon 1, si u est non nul et se réduit à {0} si u =0. L’ensemble
-limite est vide si u est plus grand que 1, c’est-à-dire à l’extérieur du cercle
unité et est égal au point origine, si u est inférieur à 1.
7.7 Stabilité de Lyapunov
On considère l’équation diérentielle ˙
{ = i (w> {) et on note *(w> {) le
flot associé. On suppose que l’équation admet une solution {(w) pour la
condition initiale {(w 0 )={ 0 .U npo i n t{ ou une solution {(w) est stable au
sens de Lyapunov si pour tout positif, il existe un nombre positif tel que
pour toute solution |(w) de la même équation, l’inégalité |{(w 0 ) |(w 0 )| ?
entraîne que |{(w) |(w)| ? , pour tout w supérieur à w 0 .A u t r e m e n td i t ,
la stabilité de Lyapunov demande à ce que les solutions qui sont proches
des conditions initiales, restent proches lorsque le temps (ou la variable
d’intégration) augmente. Lorsque { est un élément de R
q
, la notation des
valeurs absolues représente la norme. Un point { ou une solution {(w) est
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Un ensemble D est positivement invariant (resp. négativement invariant)
si ;{ 5 D> *(w> {) 5 D> ;wA0 (resp. w?0). La courbe intégrale ou la
trajectoire passant par { est l’ensemble
({)= ^
w5R
*(w> {)
et la semi-trajectoire positive est l’ensemble
+ ({)= ^
w0
*(w> {)
On démontre que l’ensemble D est invariant si et seulement si ({)
D> ;{ 5 D= L’ensemble $-limite est l’intersection des fermetures des semitrajectoires positives
$({)= _
|5({)
+ (|)
Si $({) est invariant et si
+ ({) est borné, alors $({) est compact.
Exemples. (1) L’équation diérentielle
=
{ = { avec {(0) = 0 admet comme
solution les courbes {(w)=Fh
w
. Le flot associé est donc *(w> {)=Fh
w
.
L’ensemble $-limite est réduit à {0}. Si { =0 , ({)=0 ,m a i ss i{ est
positif ou négatif, l’ensemble -limite est vide.
(2) Considérons le système d’équations
½
˙
{ = | + {(1 {
2 |
2 )
˙
| = { + |(1 {
2 |
2 )
En coordonnées polaires, ce système équivaut à ˙
u = u(1 u
2 )= Les points
d’équilibre sont obtenus pour u =0et u =1.L ’ e n s e m b l e$-limite est égal
au cercle de rayon 1, si u est non nul et se réduit à {0} si u =0. L’ensemble
-limite est vide si u est plus grand que 1, c’est-à-dire à l’extérieur du cercle
unité et est égal au point origine, si u est inférieur à 1.
7.7 Stabilité de Lyapunov
On considère l’équation diérentielle ˙
{ = i (w> {) et on note *(w> {) le
flot associé. On suppose que l’équation admet une solution {(w) pour la
condition initiale {(w 0 )={ 0 .U npo i n t{ ou une solution {(w) est stable au
sens de Lyapunov si pour tout positif, il existe un nombre positif tel que
pour toute solution |(w) de la même équation, l’inégalité |{(w 0 ) |(w 0 )| ?
entraîne que |{(w) |(w)| ? , pour tout w supérieur à w 0 .A u t r e m e n td i t ,
la stabilité de Lyapunov demande à ce que les solutions qui sont proches
des conditions initiales, restent proches lorsque le temps (ou la variable
d’intégration) augmente. Lorsque { est un élément de R
q
, la notation des
valeurs absolues représente la norme. Un point { ou une solution {(w) est