148
Ensembles limites
d : k
0 (d)=0 . Cette définition établit une condition su!sante pour que la
fonction k ait un extremum relatif. Nous savons déjà que pour que k ait un
extremum relatif en d, il faut que la dérivée de k en d s’annule. La forme
bilinéaire symétrique définie lorsque k est de classe C
2
sur le fibré tangent
W d (P ) par
!(x> y)=(k !)
00 (0)(!
0 (0)
1 (x)>!
0 (0)
1 (y)) = Khvv(x> y)
est appelée la hessienne de k en d.S o i t(h 1 > ===h u ) une base orthogonale de
W d (P )
!(h l >h m )=n l lm
Le point critique d est non dégénéré si la forme bilinéaire Hess est non
dégénérée, c’est-à-dire si aucun n l n’est nul. L’indice de d est l’indice de
Hess, c’est-à-dire le nombre de n l strictement négatifs. Si tous les points
critiques de k sur P sont non dégénérés, k est appelée fonction de Morse.
Si P est une variété compacte et si k est une fonction de Morse, k au n
nombre fini de points critiques. La caractéristique d’Euler-Poincaré de P
(glpP = u) est liée aux points critiques par la formule
"(P )=
u
X
m=0
(1)
m f m (k)
f m e s tl en o m b r ed ep o i n t sc r i t i q u e sd ek d’indice m.L e sf m (k) sont plus
grands que les nombres de Betti de P notés e m (P )
f m (k) e m (P )
7.6 Ensembles limites
Un point | est un point $-limite pour le flot *(w> {) associé à l’équation
diérentielle ˙
{ = i ({) s’il existe une suite croissante de réels w q tendant vers
l’infini telle que lim *(w q >{)=|. L’ensemble $-limite de { est l’ensemble
$({)={| 5 R
q > <(w q ) % 4> lim
q$4
*(w q >{)=|}
Un point | est un point -limite pour le flot *(w> {) associé à l’équation
diérentielle ˙
{ = i ({) s’il existe une suite décroissante de réels v q tendant vers l’infini telle que lim *(v q >{)=|. L’ensemble -limite de { est
l’ensemble
({)={| 5 R
q > <(v q ) & 4> lim
q$4
*(v q >{)=|}
Un ensemble D est invariant si
;{ 5 D> *(w> {) 5 D> ;w
Ensembles limites
d : k
0 (d)=0 . Cette définition établit une condition su!sante pour que la
fonction k ait un extremum relatif. Nous savons déjà que pour que k ait un
extremum relatif en d, il faut que la dérivée de k en d s’annule. La forme
bilinéaire symétrique définie lorsque k est de classe C
2
sur le fibré tangent
W d (P ) par
!(x> y)=(k !)
00 (0)(!
0 (0)
1 (x)>!
0 (0)
1 (y)) = Khvv(x> y)
est appelée la hessienne de k en d.S o i t(h 1 > ===h u ) une base orthogonale de
W d (P )
!(h l >h m )=n l lm
Le point critique d est non dégénéré si la forme bilinéaire Hess est non
dégénérée, c’est-à-dire si aucun n l n’est nul. L’indice de d est l’indice de
Hess, c’est-à-dire le nombre de n l strictement négatifs. Si tous les points
critiques de k sur P sont non dégénérés, k est appelée fonction de Morse.
Si P est une variété compacte et si k est une fonction de Morse, k au n
nombre fini de points critiques. La caractéristique d’Euler-Poincaré de P
(glpP = u) est liée aux points critiques par la formule
"(P )=
u
X
m=0
(1)
m f m (k)
f m e s tl en o m b r ed ep o i n t sc r i t i q u e sd ek d’indice m.L e sf m (k) sont plus
grands que les nombres de Betti de P notés e m (P )
f m (k) e m (P )
7.6 Ensembles limites
Un point | est un point $-limite pour le flot *(w> {) associé à l’équation
diérentielle ˙
{ = i ({) s’il existe une suite croissante de réels w q tendant vers
l’infini telle que lim *(w q >{)=|. L’ensemble $-limite de { est l’ensemble
$({)={| 5 R
q > <(w q ) % 4> lim
q$4
*(w q >{)=|}
Un point | est un point -limite pour le flot *(w> {) associé à l’équation
diérentielle ˙
{ = i ({) s’il existe une suite décroissante de réels v q tendant vers l’infini telle que lim *(v q >{)=|. L’ensemble -limite de { est
l’ensemble
({)={| 5 R
q > <(v q ) & 4> lim
q$4
*(v q >{)=|}
Un ensemble D est invariant si
;{ 5 D> *(w> {) 5 D> ;w