7. Équations et systèmes d’équations diérentielles
147
Ce polynôme S détermine l’équation caractéristique S ()=0de l’équation
diérentielle. Dans l’ensemble des complexes, les solutions de cette équation
forment un espace vectoriel sur l’ensemble des complexes de dimension 2.
Si le discriminant du polynôme caractéristique ( = e
2 4df) est non nul,
l’équation caractéristique admet deux racines distinctes complexes 1 et
2 = Les solutions sont de la forme {(w)=f 1 h
1 w + f 2 h
2 w > les coe!cients f l
étant complexes. Si le discriminant est nul, l’équation caractéristique admet
une racine double , et les solutions sont de la forme {(w)=(f 1 + f 2 w)h
w =
Dans l’ensemble des réels, si le discriminant est strictement positif, l’équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes 1 et 2 = Les solutions sont de la forme {(w)=f 1 h
1 w + f 2 h
2 w
, les coecients f l étant
réels. Si le discriminant est nul, l’équation caractéristique admet une racine double , et les solutions sont de la forme {(w)=(f 1 + f 2 w)h
w
.E n fi n ,
si le discriminant est négatif, les deux racines sont complexes conjuguées
de la forme 1 = + l> et 2 = l, de sorte que la solution est de la
forme {(w)=h
w (f 1 cos(w)+f 2 sin(w))> équation qui peut encore s’écrire
en introduisant un facteur de phase {(w)=Fh
w cos(w + *)=
Certaines équations non linéaires se ramènent à des équations linéaires
par changement de variables. C’est le cas par exemple des équations de
Bernoulli
˙
{ = s(w){ + t(w){
les fonctions s et t étant continues. Lorsque vaut 0 ou 1 l’équation est
linéaire. Sinon, en posant | = {
1
, on se ramène à l’équation linéaire
suivante
˙
|
1
= s(w)| + t(w)
L’équation de Ricatti
˙
{ = d(w){
2 + e(w){ + f(w)
se ramène à une équation de Bernoulli avec =2 ,d è sq u ’ o ne nc o n n a î t
une solution particulière { 1 (w).E ne et, il su!td epo s e r{ = { 1 + |,e td e
reporter dans l’équation, pour montrer que la variable | vérifie l’équation
de Bernoulli suivante
˙
| =(2d(w){ 1 (w)+e(w))|(w)+d(w)|
2 (w)
7.5 Points critiques
Un point d est un point critique (stationnaire ou singulier ) de l’équation
diérentielle associée au champ i ,s ii (d)=0.S ik est une fonction réelle
définie sur un ouvert X contenant une variété P ,o nd i tq u ed> un point
de P> est un point critique de k sur P si la dérivée de k s’annule en
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Ce polynôme S détermine l’équation caractéristique S ()=0de l’équation
diérentielle. Dans l’ensemble des complexes, les solutions de cette équation
forment un espace vectoriel sur l’ensemble des complexes de dimension 2.
Si le discriminant du polynôme caractéristique ( = e
2 4df) est non nul,
l’équation caractéristique admet deux racines distinctes complexes 1 et
2 = Les solutions sont de la forme {(w)=f 1 h
1 w + f 2 h
2 w > les coe!cients f l
étant complexes. Si le discriminant est nul, l’équation caractéristique admet
une racine double , et les solutions sont de la forme {(w)=(f 1 + f 2 w)h
w =
Dans l’ensemble des réels, si le discriminant est strictement positif, l’équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes 1 et 2 = Les solutions sont de la forme {(w)=f 1 h
1 w + f 2 h
2 w
, les coecients f l étant
réels. Si le discriminant est nul, l’équation caractéristique admet une racine double , et les solutions sont de la forme {(w)=(f 1 + f 2 w)h
w
.E n fi n ,
si le discriminant est négatif, les deux racines sont complexes conjuguées
de la forme 1 = + l> et 2 = l, de sorte que la solution est de la
forme {(w)=h
w (f 1 cos(w)+f 2 sin(w))> équation qui peut encore s’écrire
en introduisant un facteur de phase {(w)=Fh
w cos(w + *)=
Certaines équations non linéaires se ramènent à des équations linéaires
par changement de variables. C’est le cas par exemple des équations de
Bernoulli
˙
{ = s(w){ + t(w){
les fonctions s et t étant continues. Lorsque vaut 0 ou 1 l’équation est
linéaire. Sinon, en posant | = {
1
, on se ramène à l’équation linéaire
suivante
˙
|
1
= s(w)| + t(w)
L’équation de Ricatti
˙
{ = d(w){
2 + e(w){ + f(w)
se ramène à une équation de Bernoulli avec =2 ,d è sq u ’ o ne nc o n n a î t
une solution particulière { 1 (w).E ne et, il su!td epo s e r{ = { 1 + |,e td e
reporter dans l’équation, pour montrer que la variable | vérifie l’équation
de Bernoulli suivante
˙
| =(2d(w){ 1 (w)+e(w))|(w)+d(w)|
2 (w)
7.5 Points critiques
Un point d est un point critique (stationnaire ou singulier ) de l’équation
diérentielle associée au champ i ,s ii (d)=0.S ik est une fonction réelle
définie sur un ouvert X contenant une variété P ,o nd i tq u ed> un point
de P> est un point critique de k sur P si la dérivée de k s’annule en