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Équations diérentielles linéaires
base convenable, la somme d’une matrice diagonale et d’une matrice nilpotente M = G + Q .S iS désigne la matrice de passage D = S (G + Q )S
1
,
les solutions sont de la forme [(w)=Sh
wG h
wQ S
1 [ 0 où S
1 [ 0 est un
vecteur arbitraire. Lorsque D est une matrice diagonalisable, la résolution
de l’équation homogène s’eectue par un simple changement de variables.
Puisque D est de la forme D = SGS
1
, l’équation [
0 = D[ est équivalente à l’équation [
0 = SGS
1 [, soit en posant \ = S[,c e t t eé q u a t i o n
devient S\
0 = SGS
1 S\> soit en multipliant à gauche par l’inverse de S ,
\
0 = G\= Cette dernière équation est un système diagonal qui se résout
simplement en |
0
l = l h
l w
où les coe!cients l sont des constantes arbitraires et les l sont les valeurs propres de D.Lev ecteur[, qui est relié au
vecteur \ par la matrice de passage, est donné par la formule [ = S
1 \
qui résout l’équation homogène.
Les équations linéaires d’ordre s se ramènent à des systèmes d’équations.
L’équation
{
(s) + d s1 {
(s1) + === + d 1 {
0 + d 0 { =0
est équivalente au système
;
A A A A ?
A A A A =
{
0 = { 1
{
0
1 = { 2
===
{
0
s2 = { s1
{
0
s1 = {
(s) = d s1 { s1 === d 1 { 1 d 0 {
Ce système est de la forme matricielle [
0 = D[. Si on désigne par 1 > 2 > ===>
q > les valeurs propres de la matrice D> le système admet pour solution
3
E
E
E
E
C
{
{ 1
{ 2
···
{ s
4
F
F
F
F
D
=
3
E
E
E
E
C
11 === 1
1 2 === q
2
1
2
2 ===
2
q
···
···
s
1
s
2
===
s
q
4
F
F
F
F
D
3
E
E
E
E
C
f 1 h
1w
f 2 h
2w
f 3 h
3 w
···
f s h
s w
4
F
F
F
F
D
où les coe!cients f m sont des constantes. Les solutions sont donc de la forme
{(w)=f 1 h
1w + === + f s h
sw
Dans le cas d’une équation du second degré, les racines du polynôme caractéristique nous renseignent sur le type de solution. Considérons l’équation
d¨ { + e ˙
{ + f{ =0
À cette équation diérentielle est associé un polynôme S appelé polynôme
caractéristique
S ()=d
2 + e + f