7. Équations et systèmes d’équations diérentielles
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dans ]{ q > { q + [ telle que
i ({ 1 > ===> { q1 >k({ 1 > ==={ q1 )) = 0
et dont la dérivée est donnée par
gk({ 1 >==={ q1 )=
i
0
{ 1 ({ 1 > ==={ q1 >k)
i 0
{q ({ 1 > ==={ q1 >k)
g{ 1 ====
i
0
{ q1 ({ 1 > ==={ q1 >k)
i 0
{q ({ 1 > ==={ q1 >k)
g{ q1
Par exemple, la fonction i ({> |)=|
5 4|
4 +4{|
2 {
2
s’annule au point
(1,1). La dérivée de i en | au point (1,1) est non nulle i
0
| (1> 1) = 3,p a r
conséquent l’équation i ({> |)=0admet une solution locale | = k({) dont
la dérivée vaut 2@3. La tangente au point (d 1 >d 2 )=(1> 1) a pour équation
| d 1 = k
0 ({)({ d 2 ),s o i t| = 2{@3+5@3.
7.4 Équations diérentielles linéaires
L’équation ou le système d’équations diérentielles de la forme
˙
[(w)=D[(w)+E(w)
où D est une matrice et E(w) une fonction continue admet une solution
unique prenant en w = w 0 la valeur { 0 > qui est donnée par
[(w)=h
(ww0)D ={ 0 +
Z w
w0
h
(wv)D =E(v)gv
On rappelle que l’exponentielle d’une matrice est définie par la série
h
D =
+4
X
q=0
D
q
q!
Le déterminant de l’exponentielle d’une matrice est égal à l’exponentielle
de la trace de cette matrice, qui est la somme des valeurs propres
det(h
D )=h
wu(D)
En pratique, on résout d’abord l’équation homogène
˙
[(w)=D[(w)
puis on détermine une solution particulière de l’équation globale. L’ensemble des solutions est obtenu par superposition de la solution de l’équation homogène augmentée d’une solution particulière. L’équation homogène
se résout en mettant la matrice D sous sa forme de Jordan, qui est, dans une