144
Inversion locale
7.3 Inversion locale
Lorsque i est une application diérentiable de R
q
dans R
q
,l ad i érentielle de i =( i 1 >i 2 > ===i q ) au point d =( d 1 >d 2 > ===> d q ) est l’application
linéaire définie par la matrice jacobienne
Mdfi(d)=
µ Ci m
C{ l
¶
l>m
(d)=
3
E
E
E
E
C
Ci 1
C{ 1
(d) ···
Ci 1
C{ q
(d)
. . .
. . .
Ci q
C{ 1
(d) ···
Ci q
C{ q
(d)
4
F
F
F
F
D
Le jacobien est le déterminant de cette matrice. Donnons quelques définitions.
Une application i d’un ouvert X d’un espace vectoriel de dimension q
dans un espace vectoriel H de dimension q + s de la forme
i =(i 1 ({ 1 >==={ q )>===>i q+s ({ 1 >==={ q ))
est une immersion lorsque la dérivée de i est injective, c’est-à-dire lorsque
la matrice jacobienne est de rang q (on peut extraire une matrice carrée
d’ordre q de déterminant non nul).
Une application i d’un ouvert X d’un espace vectoriel de dimension q+s
dans un espace vectoriel H de dimension s de la forme
i =(i 1 ({ 1 > ==={ q+s )>===>i s ({ 1 >==={ q+s ))
est une submersion lorsque la dérivée de i est surjective, c’est-à-dire lorsque
la matrice jacobienne est de rang s (on peut extraire une matrice carrée
d’ordre s de déterminant non nul).
Le théorème du diéomorphisme local assure l’existence de solutions locales d’une équation diérentielle dès que i est su!samment régulière. Soit
X un ouvert, i une application de X dans un espace vectoriel H de classe
C
s
.S o i t{ un point de l’ouvert X pour lequel le jacobien de i en ce point
est non nul. Alors il existe un ouvert X
0
inclus dans X et contenant { et
un ouvert X
00
contenant i ({) tel que la restriction de i à X
0
soit un difféomorphisme de classe C
s
de X
0
sur X
00
. Autrement dit, on peut toujours
inverser localement la fonction i .S id ep l u si est injective, alors i est un
diéomorphisme global de X sur i (X ).
Le théorème des fonctions implicites permet de déterminer une réciproque locale et de calculer sa dérivée. Soit i une application de R
q
dans
R de classe C
1
au voisinage du point d =( d 1 > ===> d q ) telle que i (d)=0 .
On suppose que la dérivée partielle de i en { q au point d est non nulle
i
0
{q (d) 6 =0 . Alors pour un voisinage du point (d 1 > ===> d q1 )> l’équation
i ({ 1 > ===> { q )=0admet une solution unique k({ 1 > ==={ q1 ) définie de l’intervalle local ]{ 0 > { 0 + [× ]{ 1 > { 1 + [× ...× ]{ q1 > { q1 + [
Inversion locale
7.3 Inversion locale
Lorsque i est une application diérentiable de R
q
dans R
q
,l ad i érentielle de i =( i 1 >i 2 > ===i q ) au point d =( d 1 >d 2 > ===> d q ) est l’application
linéaire définie par la matrice jacobienne
Mdfi(d)=
µ Ci m
C{ l
¶
l>m
(d)=
3
E
E
E
E
C
Ci 1
C{ 1
(d) ···
Ci 1
C{ q
(d)
. . .
. . .
Ci q
C{ 1
(d) ···
Ci q
C{ q
(d)
4
F
F
F
F
D
Le jacobien est le déterminant de cette matrice. Donnons quelques définitions.
Une application i d’un ouvert X d’un espace vectoriel de dimension q
dans un espace vectoriel H de dimension q + s de la forme
i =(i 1 ({ 1 >==={ q )>===>i q+s ({ 1 >==={ q ))
est une immersion lorsque la dérivée de i est injective, c’est-à-dire lorsque
la matrice jacobienne est de rang q (on peut extraire une matrice carrée
d’ordre q de déterminant non nul).
Une application i d’un ouvert X d’un espace vectoriel de dimension q+s
dans un espace vectoriel H de dimension s de la forme
i =(i 1 ({ 1 > ==={ q+s )>===>i s ({ 1 >==={ q+s ))
est une submersion lorsque la dérivée de i est surjective, c’est-à-dire lorsque
la matrice jacobienne est de rang s (on peut extraire une matrice carrée
d’ordre s de déterminant non nul).
Le théorème du diéomorphisme local assure l’existence de solutions locales d’une équation diérentielle dès que i est su!samment régulière. Soit
X un ouvert, i une application de X dans un espace vectoriel H de classe
C
s
.S o i t{ un point de l’ouvert X pour lequel le jacobien de i en ce point
est non nul. Alors il existe un ouvert X
0
inclus dans X et contenant { et
un ouvert X
00
contenant i ({) tel que la restriction de i à X
0
soit un difféomorphisme de classe C
s
de X
0
sur X
00
. Autrement dit, on peut toujours
inverser localement la fonction i .S id ep l u si est injective, alors i est un
diéomorphisme global de X sur i (X ).
Le théorème des fonctions implicites permet de déterminer une réciproque locale et de calculer sa dérivée. Soit i une application de R
q
dans
R de classe C
1
au voisinage du point d =( d 1 > ===> d q ) telle que i (d)=0 .
On suppose que la dérivée partielle de i en { q au point d est non nulle
i
0
{q (d) 6 =0 . Alors pour un voisinage du point (d 1 > ===> d q1 )> l’équation
i ({ 1 > ===> { q )=0admet une solution unique k({ 1 > ==={ q1 ) définie de l’intervalle local ]{ 0 > { 0 + [× ]{ 1 > { 1 + [× ...× ]{ q1 > { q1 + [