7. Équations et systèmes d’équations diérentielles
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! :( w> {) $ !(w> {) de L × X sur H noté ! w ({)=!(w> {) tel que l’application w $ ! w de L dans H soit un homomorphisme de groupes, c’est-à-dire
tel que (1) l’application ! 0 soit l’identité, (2) l’application composée vérifie ! w ! v = ! w+v et (3) l’application réciproque est donnée par (! w )
1
= ! w = On rappelle qu’un diéomorphisme de classe C
p ! w est une application bijective telle que l’application ! w et sa réciproque sont de classe F
s
.
On définit un groupe (global) à un paramètre en prenant pour l’intervalle
L la droite réelle et pour l’ouvert X l’espace tout entier H. À chaque champ
de vecteurs, on peut associer un groupe local à un paramètre. Pour un
champ donné [, les courbes intégrales associées sont les courbes définies
par les fonctions { (w)=! w ({). On appelle orbite d’un point { du champ
[, la courbe intégrale { (w) passant par {. Inversement, à un groupe de
paramètres, on peut associer le champ de vecteur
[(w)=
g
gw
!(w> {)
¯
¯
¯
¯
w=0
qui est le vecteur vitesse de l’arc paramétré { (w)= Un champ de vecteurs
est complet si toutes les courbes intégrales maximales sont paramétrées
sur l’ensemble des réels tout entier (i.e. w varie de 4 à +4). La diérence entre local et global est essentielle. En eet, tout champ de vecteurs
engendre un groupe local à un paramètre de diéomorphismes, mais n’engendre pas nécessairement un groupe global. On démontre que pour qu’un
champ soit complet, il faut et il su!t que ce champ soit engendré par
un groupe (global) à un paramètre de diéomorphismes. Par exemple, le
champ de vecteurs de classe F
4
sur R
2
[ = {
2 C
C{
est associé à l’équation diérentielle ˙
{ = {
2 > avec pour condition initiale
{(0) = d (d 6 =0). Il admet les courbes intégrales d’équations
{(w)=
d
1 dw
Comme ces solutions ne sont pas définies pour la valeur w =1@d,l ec h a m p
n’est pas complet. En revanche, le champ de vecteurs
[ = {
C
C|
|
C
C{
associé à l’équation diérentielle
½
˙
{ = |
˙
| = {
admet comme courbes intégrales {(w)={ 0 frv(w) | 0 vlq(w) et |(w)=
{ 0 vlq(w)+| 0 frv(w)= Le champ est complet, car les courbes intégrales sont
définies à tout instant. Les courbes intégrales sont des cercles concentriques.
Le groupe à un paramètre est le groupe des rotations planes d’angle w.
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! :( w> {) $ !(w> {) de L × X sur H noté ! w ({)=!(w> {) tel que l’application w $ ! w de L dans H soit un homomorphisme de groupes, c’est-à-dire
tel que (1) l’application ! 0 soit l’identité, (2) l’application composée vérifie ! w ! v = ! w+v et (3) l’application réciproque est donnée par (! w )
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= ! w = On rappelle qu’un diéomorphisme de classe C
p ! w est une application bijective telle que l’application ! w et sa réciproque sont de classe F
s
.
On définit un groupe (global) à un paramètre en prenant pour l’intervalle
L la droite réelle et pour l’ouvert X l’espace tout entier H. À chaque champ
de vecteurs, on peut associer un groupe local à un paramètre. Pour un
champ donné [, les courbes intégrales associées sont les courbes définies
par les fonctions { (w)=! w ({). On appelle orbite d’un point { du champ
[, la courbe intégrale { (w) passant par {. Inversement, à un groupe de
paramètres, on peut associer le champ de vecteur
[(w)=
g
gw
!(w> {)
¯
¯
¯
¯
w=0
qui est le vecteur vitesse de l’arc paramétré { (w)= Un champ de vecteurs
est complet si toutes les courbes intégrales maximales sont paramétrées
sur l’ensemble des réels tout entier (i.e. w varie de 4 à +4). La diérence entre local et global est essentielle. En eet, tout champ de vecteurs
engendre un groupe local à un paramètre de diéomorphismes, mais n’engendre pas nécessairement un groupe global. On démontre que pour qu’un
champ soit complet, il faut et il su!t que ce champ soit engendré par
un groupe (global) à un paramètre de diéomorphismes. Par exemple, le
champ de vecteurs de classe F
4
sur R
2
[ = {
2 C
C{
est associé à l’équation diérentielle ˙
{ = {
2 > avec pour condition initiale
{(0) = d (d 6 =0). Il admet les courbes intégrales d’équations
{(w)=
d
1 dw
Comme ces solutions ne sont pas définies pour la valeur w =1@d,l ec h a m p
n’est pas complet. En revanche, le champ de vecteurs
[ = {
C
C|
|
C
C{
associé à l’équation diérentielle
½
˙
{ = |
˙
| = {
admet comme courbes intégrales {(w)={ 0 frv(w) | 0 vlq(w) et |(w)=
{ 0 vlq(w)+| 0 frv(w)= Le champ est complet, car les courbes intégrales sont
définies à tout instant. Les courbes intégrales sont des cercles concentriques.
Le groupe à un paramètre est le groupe des rotations planes d’angle w.