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Champs de vecteurs
pour lesquelles la solution de l’équation diérentielle existe et est unique
pour tout w dans l’intervalle [w 0 w 1 >w 0 + w 2 ].O nd é m o n t r ea u s s iq u es ii
est une fonction continue dans [d> e]×R
q
et vérifie la condition de Lipschitz
de rapport nA0 suivante
; w 5 [d> e]> ; { 1 >{ 2 5 R
q > ki (w> { 2 ) i (w> { 1 )k n k{ 2 { 1 k
alors le problème avec condition initiale (w 0 >{ 0 ) admet une solution unique
dans [d> e], donnée par
{(w)={ 0 +
Z w
w 0
i (v> {(v)) gv
L’équation est dite autonome lorsqu’elle ne dépend pas explicitement de
la variable temporelle w, c’est-à-dire lorsqu’elle est de la forme ˙
{ = i ({)=
Il importe de remarquer que la condition de Lipschitz assure l’unicité de
la solution. Par exemple, l’équation g{@gw =2
s
{ pour wA0 et {( 0 )=0
admet plusieurs solutions de la forme {(w)=( w d)
2
si w d et {(w)=0
si w d, obtenues pour diérentes valeurs du paramètre d> car la fonction
{(w) n’est pas lipschitzienne. Remarquons aussi que l’intervalle de définition d’une solution dépend de la condition initiale et que l’existence d’une
solution est une propriété locale. L’équation g{@gw = {
2
et {(1) = 1 admet comme solution {(w)=1@w qui n’est pas définie en w =0bien que la
fonction i (w> {)={
2
soit continue.
7.2 Champs de vecteurs
L’équation diérentielle
˙
{ = i (w> {)
définit un champ de vecteur i= On appelle champ de vecteurs une application qui à tout point { associe un vecteur tangent en ce point. Plus généralement, un champ de vecteurs sur une variété diérentiable P est une
section diérentiable du fibré tangent W P sur la variété P .Àt o u tc h a m p
de vecteur [, on peut associer une équation diérentielle ˙
{ = [({)=
Une courbe intégrale de l’équation diérentielle ˙
{ = i (w> {) est un arc
paramétré dérivable de [0> 1] dans R
q
qui vérifie
g(w)
gw
= i (w> (w))
Une courbe intégrale admet donc en chacun de ses points {, un vecteur
tangent i (w> {). Pour résoudre une équation diérentielle il su!td o n cd e
trouver toutes ses courbes intégrales.
Soit L un intervalle réel centré sur l’origine et X un ouvert d’un espace
vectoriel H. On appelle groupe local à un paramètre tout diéomorphisme
Champs de vecteurs
pour lesquelles la solution de l’équation diérentielle existe et est unique
pour tout w dans l’intervalle [w 0 w 1 >w 0 + w 2 ].O nd é m o n t r ea u s s iq u es ii
est une fonction continue dans [d> e]×R
q
et vérifie la condition de Lipschitz
de rapport nA0 suivante
; w 5 [d> e]> ; { 1 >{ 2 5 R
q > ki (w> { 2 ) i (w> { 1 )k n k{ 2 { 1 k
alors le problème avec condition initiale (w 0 >{ 0 ) admet une solution unique
dans [d> e], donnée par
{(w)={ 0 +
Z w
w 0
i (v> {(v)) gv
L’équation est dite autonome lorsqu’elle ne dépend pas explicitement de
la variable temporelle w, c’est-à-dire lorsqu’elle est de la forme ˙
{ = i ({)=
Il importe de remarquer que la condition de Lipschitz assure l’unicité de
la solution. Par exemple, l’équation g{@gw =2
s
{ pour wA0 et {( 0 )=0
admet plusieurs solutions de la forme {(w)=( w d)
2
si w d et {(w)=0
si w d, obtenues pour diérentes valeurs du paramètre d> car la fonction
{(w) n’est pas lipschitzienne. Remarquons aussi que l’intervalle de définition d’une solution dépend de la condition initiale et que l’existence d’une
solution est une propriété locale. L’équation g{@gw = {
2
et {(1) = 1 admet comme solution {(w)=1@w qui n’est pas définie en w =0bien que la
fonction i (w> {)={
2
soit continue.
7.2 Champs de vecteurs
L’équation diérentielle
˙
{ = i (w> {)
définit un champ de vecteur i= On appelle champ de vecteurs une application qui à tout point { associe un vecteur tangent en ce point. Plus généralement, un champ de vecteurs sur une variété diérentiable P est une
section diérentiable du fibré tangent W P sur la variété P .Àt o u tc h a m p
de vecteur [, on peut associer une équation diérentielle ˙
{ = [({)=
Une courbe intégrale de l’équation diérentielle ˙
{ = i (w> {) est un arc
paramétré dérivable de [0> 1] dans R
q
qui vérifie
g(w)
gw
= i (w> (w))
Une courbe intégrale admet donc en chacun de ses points {, un vecteur
tangent i (w> {). Pour résoudre une équation diérentielle il su!td o n cd e
trouver toutes ses courbes intégrales.
Soit L un intervalle réel centré sur l’origine et X un ouvert d’un espace
vectoriel H. On appelle groupe local à un paramètre tout diéomorphisme