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Équations et systèmes d’équations
diérentielles
On rappelle, dans les premiers paragraphes, les résultats fondamentaux
des équations diérentielles. Les paragraphes suivants sont consacrés aux
méthodes numériques usuelles. Dans le traitement numérique des équations
diérentielles, on distingue les méthodes à pas séparés (ou à un seul pas)
qui permettent de calculer | q+1 à partir de la seule connaissance de | q et
les méthodes à pas liés (ou à pas multiples) qui nécessitent la connaissance
de | q , | q1 > ===> | qs pour calculer | q+1 . Les méthodes numériques de résolution (dites à diérences finies) sont fondées sur le développement de
Taylor.
7.1 Existence et unicité des solutions
Soit X un ouvert de R×R
q
et i : X $ R
q
une application continue. On
considère une équation diérentielle de la forme ˙
{ = i (w> {) munie d’une
condition initiale {(w 0 )={ 0 5 R
q
donnée, avec la notation ˙
{ = g{@gw.Une
solution de cette équation est (par définition) une application diérentiable
| :[d> e] $ R
q
vérifiant les conditions
½
˙
{ = i (w> {)
; w 5 [d> e]
{(w 0 )={ 0
Ce problème admet, sous certaines conditions, une solution. On démontre
en eet que si la fonction i est une fonction continûment diérentiable
alors il existe deux valeurs maximales (éventuellement infinies) w 1 et w 2