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Méthodes de Runge-Kutta
conduit au schéma
½
{ l+1 = { l + k
| l+1 = | l + ki ({ l >| l )
En pratique, la méthode d’Euler n’est pas utilisée, car elle n’ore pas une
précision su!sante. Cette méthode est convergente et du premier ordre,
car l’erreur de consistance vaut
||({ l ) | l | =
1
2
k
2 i
0 (f> | l ) avec f 5 [{ l1 >{ l ]
Mais la méthode explicite est souvent instable. Par exemple, si la fonction
i est linéaire i ({> |)=d| avec dA0, le schéma d’Euler
| l+1 = | l dk| l =(1 dk)| l
est instable dès que kA2@d, car dans ce cas, | l tend vers l’infini lorsque l
tend vers l’infini. En revanche, le schéma rétrograde
| l+1 = | l k|
0
l+1 =
| l
1+dk
conduit à une méthode implicite qui est universellement stable puisque | l+1
tend vers zéro, quand le pas k tend vers l’infini.
Dans la méthode des trapèzes, la fonction i est remplacée par une fonction
a!ne par morceaux. Le schéma de discrétisation
| l+1 = | l +
k
2
(|
0
l+1 + |
0
l )
conduit à une méthode d’ordre 2.
7.18 Méthodes de Runge-Kutta
Carl Runge (1856-1927) et Martin Kutta (1867-1944) ont proposé en
1895 de résoudre le problème de Cauchy
½
|
0 ({)=i ({> |)
|({ 0 )=| 0
en introduisant un schéma numérique de la forme
½
{ l+1 = { l + k l
| l+1 = | l + k=({ l >| l >k l )
où la fonction d’incrémentation est une approximation de i ({> |) sur
l’intervalle [{ l >{ l+1 ]= Supposons donnés un entier u, une matrice D dont