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Introduction
l’intérêt du concept de convergence uniforme. Les polynômes orthogonaux
sont introduits, car ils sont à la base des techniques d’intégration par les
méthodes de Gauss. La dialectique du local et du global est mise à profit
dans le paragraphe sur les fonctions splines et les courbes de Bézier. L’approximation de Padé est aussi une belle illustration d’une approximation
locale.
Le troisième chapitre est une brève présentation des techniques de résolution des équations algébriques. La mise en pratique de ces résolutions
soulève deux problèmes essentiels : comment déterminer le nombre de racines d’une équation et comment savoir si une racine existe dans une région
donnée. Le premier problème a des résonances importantes dans la théorie
mathématique, puisqu’il a été résolu dans le cas polynomial par le théorème
de d’Alembert qui fonde l’algèbre moderne et ses aboutissants comme la
théorie de Galois, tandis que le second problème, celui de la localisation
des racines, est illustré par des algorithmes applicables à des polynômes.
Il dissimule l’important théorème de Rolle qui permet aussi de mesurer
l’erreur des développements asymptotiques.
Les techniques d’intégration numérique sont présentées dans le quatrième
chapitre qui se divise en deux parties. La première partie traite des méthodes composées, dans lesquelles la fonction à intégrer est remplacée par
une approximation polynomiale ; elle couvre grosso modo les méthodes “historiques”. La seconde partie traite des méthodes d’intégration de Gauss à
l’aide des polynômes orthogonaux dont les propriétés sont présentées dans
le deuxième chapitre.
L’analyse numérique matricielle occupe les cinquième et sixième chapitres. On présente tout d’abord les techniques de résolution des systèmes
linéaires par les trois grandes catégories de méthodes classiques, à savoir
les méthodes directes (méthodes de Gauss, de Cholesky, de Householder),
les méthodes itératives (méthodes de Jacobi, de Gauss-Seidel, de relaxation) et les méthodes projectives (méthode de la plus profonde descente
et méthodes du gradient conjugué). Certaines méthodes servent aussi à
calculer l’inverse d’une matrice. On présente également des problèmes spécifiquement numériques que l’on rencontre, comme le problème des pivots
de Gauss. Le sixième chapitre traite non seulement du calcul des valeurs
propres et des vecteurs propres d’une matrice, mais aussi des techniques de
calcul du polynôme caractéristique.
Le septième chapitre introduit les équations diérentielles ordinaires, les
concepts et principaux résultats associés, qui pour la plupart illustrent la
diérence entre local et global. Les problèmes de stabilité, de points critiques et d’hyperbolicité sont présentés, ainsi que la notion de bifurcation
qui a été appliquée sur de nombreux cas physiques et a donné lieu à plusieurs publications importantes liées au problème du chaos.
Les derniers chapitres traitent des équations diérentielles aux dérivées
partielles. Le huitième chapitre présente les résultats fondamentaux. Après
un rappel des principales définitions concernant les distributions et les
Introduction
l’intérêt du concept de convergence uniforme. Les polynômes orthogonaux
sont introduits, car ils sont à la base des techniques d’intégration par les
méthodes de Gauss. La dialectique du local et du global est mise à profit
dans le paragraphe sur les fonctions splines et les courbes de Bézier. L’approximation de Padé est aussi une belle illustration d’une approximation
locale.
Le troisième chapitre est une brève présentation des techniques de résolution des équations algébriques. La mise en pratique de ces résolutions
soulève deux problèmes essentiels : comment déterminer le nombre de racines d’une équation et comment savoir si une racine existe dans une région
donnée. Le premier problème a des résonances importantes dans la théorie
mathématique, puisqu’il a été résolu dans le cas polynomial par le théorème
de d’Alembert qui fonde l’algèbre moderne et ses aboutissants comme la
théorie de Galois, tandis que le second problème, celui de la localisation
des racines, est illustré par des algorithmes applicables à des polynômes.
Il dissimule l’important théorème de Rolle qui permet aussi de mesurer
l’erreur des développements asymptotiques.
Les techniques d’intégration numérique sont présentées dans le quatrième
chapitre qui se divise en deux parties. La première partie traite des méthodes composées, dans lesquelles la fonction à intégrer est remplacée par
une approximation polynomiale ; elle couvre grosso modo les méthodes “historiques”. La seconde partie traite des méthodes d’intégration de Gauss à
l’aide des polynômes orthogonaux dont les propriétés sont présentées dans
le deuxième chapitre.
L’analyse numérique matricielle occupe les cinquième et sixième chapitres. On présente tout d’abord les techniques de résolution des systèmes
linéaires par les trois grandes catégories de méthodes classiques, à savoir
les méthodes directes (méthodes de Gauss, de Cholesky, de Householder),
les méthodes itératives (méthodes de Jacobi, de Gauss-Seidel, de relaxation) et les méthodes projectives (méthode de la plus profonde descente
et méthodes du gradient conjugué). Certaines méthodes servent aussi à
calculer l’inverse d’une matrice. On présente également des problèmes spécifiquement numériques que l’on rencontre, comme le problème des pivots
de Gauss. Le sixième chapitre traite non seulement du calcul des valeurs
propres et des vecteurs propres d’une matrice, mais aussi des techniques de
calcul du polynôme caractéristique.
Le septième chapitre introduit les équations diérentielles ordinaires, les
concepts et principaux résultats associés, qui pour la plupart illustrent la
diérence entre local et global. Les problèmes de stabilité, de points critiques et d’hyperbolicité sont présentés, ainsi que la notion de bifurcation
qui a été appliquée sur de nombreux cas physiques et a donné lieu à plusieurs publications importantes liées au problème du chaos.
Les derniers chapitres traitent des équations diérentielles aux dérivées
partielles. Le huitième chapitre présente les résultats fondamentaux. Après
un rappel des principales définitions concernant les distributions et les