Introduction
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transformées de Fourier, on présente les opérateurs pseudo-diérentiels et
les espaces de Sobolev qui se situent entre les espaces de fonctions de classe
C
n
et les espaces de Lebesgue. Les propriétés des espaces de Sobolev permettent de démontrer que des problèmes sont bien posés et qu’ils admettent
des solutions régulières. Plusieurs notions importantes sont esquissées, la
notion de solution faible, les paramétrixes, la variété des caractéristiques
et la formulation variationnelle, qui est à la base de la méthode des éléments finis présentée dans le dernier chapitre. Les grands types d’équations
forment chacun un chapitre séparé. Les méthodes de résolution des équations elliptiques sont illustrées par l’équation de Poisson. Les propriétés
spectrales de l’opérateur de Laplace, qui intervient aussi dans des équations paraboliques ou hyperboliques sont présentées brièvement. L’accent
est mis sur les résultats liés au principe du maximum. En ce qui concerne
les équations paraboliques, les résultats portent sur l’équation de la chaleur qui est un cas modèle. Enfin, les problèmes hyperboliques sont illustrés par plusieurs exemples issus de l’équation des ondes et de l’équation
de J.M. Burgers. Le solveur de Riemann est introduit comme un concept
central dans la résolution des équations hyperboliques. Les méthodes de
viscosité numérique sont illustrées par un exemple. La stabilité des schémas numériques des équations aux dérivées partielles est démontrée par
des techniques d’analyse de Fourier qui débouchent sur les conditions de
Courant-Friedrichs-Lewy. Enfin, pour approfondir ce cours introductif, on
pourra se reporter à la bibliographie qui termine l’ouvrage. Lors de sa rédaction, de nombreux collègues et étudiants ont bien voulu me faire part
de leurs avis et suggestions pour améliorer la lisibilité du texte. Je tiens
à les remercier très sincèrement pour cette fructueuse collaboration. Cette
seconde édition a été rendue possible grâce à la relecture minutieuse de
Luc Albert et de Christian Lebœuf. Je voudrais tout particulièrement les
remercier pour ce travail, ainsi que Nicolas Puech qui a coordonné ce projet.
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transformées de Fourier, on présente les opérateurs pseudo-diérentiels et
les espaces de Sobolev qui se situent entre les espaces de fonctions de classe
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et les espaces de Lebesgue. Les propriétés des espaces de Sobolev permettent de démontrer que des problèmes sont bien posés et qu’ils admettent
des solutions régulières. Plusieurs notions importantes sont esquissées, la
notion de solution faible, les paramétrixes, la variété des caractéristiques
et la formulation variationnelle, qui est à la base de la méthode des éléments finis présentée dans le dernier chapitre. Les grands types d’équations
forment chacun un chapitre séparé. Les méthodes de résolution des équations elliptiques sont illustrées par l’équation de Poisson. Les propriétés
spectrales de l’opérateur de Laplace, qui intervient aussi dans des équations paraboliques ou hyperboliques sont présentées brièvement. L’accent
est mis sur les résultats liés au principe du maximum. En ce qui concerne
les équations paraboliques, les résultats portent sur l’équation de la chaleur qui est un cas modèle. Enfin, les problèmes hyperboliques sont illustrés par plusieurs exemples issus de l’équation des ondes et de l’équation
de J.M. Burgers. Le solveur de Riemann est introduit comme un concept
central dans la résolution des équations hyperboliques. Les méthodes de
viscosité numérique sont illustrées par un exemple. La stabilité des schémas numériques des équations aux dérivées partielles est démontrée par
des techniques d’analyse de Fourier qui débouchent sur les conditions de
Courant-Friedrichs-Lewy. Enfin, pour approfondir ce cours introductif, on
pourra se reporter à la bibliographie qui termine l’ouvrage. Lors de sa rédaction, de nombreux collègues et étudiants ont bien voulu me faire part
de leurs avis et suggestions pour améliorer la lisibilité du texte. Je tiens
à les remercier très sincèrement pour cette fructueuse collaboration. Cette
seconde édition a été rendue possible grâce à la relecture minutieuse de
Luc Albert et de Christian Lebœuf. Je voudrais tout particulièrement les
remercier pour ce travail, ainsi que Nicolas Puech qui a coordonné ce projet.