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Calcul du polynôme caractéristique
Notons 1 > 2 > ===> q les valeurs propres de S (non nécessairement distinctes).
S ()=( 1 )( 2 )===( q )
En posant, pour n =1> 2> ===> q,
v n = wu(D
n )=
q
X
l=1
n
l
Les valeurs s n des coe!cients du polynôme caractéristique sont données
par les formules de Newton
;
A A A A A A ?
A A A A A A =
s 1 = v 1
2s 2 = v 2 + s 1 v 1
===
n=s n = v n + s 1 v n1 + === + s n1 v 1
===
q=s q = v q + s 1 v q1 + === + s q1 v 1
qui est un système triangulaire qui se résout de proche en proche par la
méthode de remontée.
Exemple.L am a t r i c e
D =
3
C
110
020
0 13
4
D
a pour trace v 1 =6. Les matrices
D
2 =
3
C
130
040
0 59
4
D D
3 =
3
C
17
0
08
0
0 19 27
4
D
ont pour trace v 2 =1 4et v 3 =3 6 .L e sé q u a t i o n ss 1 = v 1 = 6, 2s 2 =
v 2 + s 1 v 1 =14 36 et 3s 3 = v 3 + s 1 v 2 + s 2 v 1 =36 84 + 66,c o n d u i s e n t
à s 1 = 6, s 2 =11et s 3 = 6. Le polynôme caractéristique est donc
S ()=
3 s 1
2 s 2 s 3 =
3 +6
2 11 +6
6.8.3 Méthode de Faddeev
La méthode de Faddeev , aussi appelée méthode de Souriau-Leverrier utilise la trace matricielle pour calculer le polynôme caractéristique
S ()=(1)
q (
q + s 1
q1 + s 2
q2 + === + s q1 + s q )
En posant
½
D 1 = D
D n =(D n1 + s n1 L)Dn =2> ===> q