6. Valeurs et vecteurs propres
137
La matrice W p a les mêmes valeurs propres que D= L’itération sur p conduit
à calculer à chaque pas p valeurs propres. Ces valeurs convergent vers
les valeurs propres de D. On arrête l’itération lorsque la diérence entre
deux estimations successives des valeurs propres est devenue su!samment
petite. Lorsque la matrice D est non symétrique, la méthode de Lanczòs
donne des valeurs incorrectes pour des valeurs propres multiples ou pour
des valeurs propres proches les unes des autres. Dans ce cas, on emploie
une méthode bi-Lanczòs qui consiste à construire deux bases des espaces
de Krylov K n (D> y) et K n (D
w > e
y)=
6.8 Calcul du polynôme caractéristique
6.8.1 Méthode de Krylov
La méthode de Krylov utilise le théorème de Cayley-Hamilton pour calculer le polynôme caractéristique
S ()=(1)
q (
q + s 1
q1 + s 2
q2 + === + s q1 + s q )
Soit D la matrice associée au polynôme S et définie par
S ()=det(D L)=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
( + s 1 ) s 2 s 3 ··· s q
1
0
···
0
01
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
···
01
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Si e est un vecteur arbitraire, on pose e 0 = D
q e, e 1 = D
q1 e, ===> e q1 = De,
e q = e. En appliquant S (D)=0, c’est-à-dire
D
q +
q
X
l=1
s l D
ql =0
au vecteur e,onobtient,enrépétantl’opération,unsystèmedeq équations
à q inconnues (s 1 >s 2 > ===> s q )
s 1 e 1 + s 2 e 2 + === + s q e q = e 0
qui se résout par une méthode de résolution de systèmes linéaires.
6.8.2 Méthode de Leverrier
La méthode de Leverrier utilise la trace matricielle pour calculer le polynôme caractéristique
S ()=(1)
q (
q + s 1
q1 + s 2
q2 + === + s q1 + s q )