136
Méthode de Lanczòs
décomposition TU, on introduit les matrices de Jacobi K s>t en choisissant
de façon à annuler les coe!cients triangulaires inférieurs (d 2>1 > ===> d q>1 ),
puis d 3>2 > ===d q>2 > etc. Les matrices
U 1 = K
w
q>q1 ===K
w
q>1 K
w
q1>q2 === K
w
q1>1 === K
w
3>2 K
w
3>1 K
w
2>1 D
et
T 1 = K 2>1 K 3>1 K 3>2 ===K q1>1 ===K q1>q2 K q>1 ===K q>q1 D
satisfont la décomposition TU.
6.7 Méthode de Lanczòs
Lorsque la matrice D est symétrique, la méthode de Lanczòs est un cas
particulier de l’algorithme d’Arnoldi. Nous présentons ici le cas D symétrique. Le procédé de Lanczòs consiste à construire une base orthonormée
Y n de l’espace de Krylov K n (D> y),o ùy est un vecteur arbitraire. On pose
y 1 = y@ kyk et on calcule successivement les vecteurs y m de la base de
Krylov. L’algorithme est le suivant : Pour n =1> ===> p
;
A A A A A A ?
A A A A A A =
z = Dy n
Si nA1 Alors Faire n = k n1>n = k n>n1 et z = z k n>n1 y n1
n = k n>n =(z> y n )
z = z k n>n y n
k n+1>n = kzk
y n+1 = z@k n+1>n
La matrice K p de l’algorithme d’Arnoldi se réduit ici à une matrice tridiagonale
W p =
3
E
E
E
E
E
E
E
C
1 2 0
===
0
2 2 3
. . .
. . .
0
. . .
. . .
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . . p
0 === 0 p p
4
F
F
F
F
F
F
F
D
avec
n =( y n >Dy n ) pour n =1>==>p
n =( y n >Dy n1 ) pour n =2>==>p
Les coe!cients de la matrice W p vérifient pour n =2> ===> p 1
n+1 y n+1 = Dy n n y n n y n1