6. Valeurs et vecteurs propres
139
Le calcul des coe!cients du polynôme caractéristique s’obtient par l’expression
s n =
1
n
wu(D n )
Exemple.L am a t r i c e
D =
3
C
110
020
0 13
4
D
a pour polynôme caractéristique
S ()=
3 +6
2 11 +6
Retrouvons ce résultat en appliquant l’algorithme de Faddeev. On calcule
le coe!cient s 1 à partir de la trace de la matrice s 1 = wu(D)=6.P u i s ,
la matrice
D 2 = D
2 + s 1 D =
3
C
5 30
0 80
01 9
4
D
donne la valeur s 2 = wu(D 2 )@2=11.L ec a l c u ld eD 3
D 3 = D
3 + s 1 D
2 + s 2 D =
3
C
600
060
006
4
D
conduit à la valeur s 3 = wu(D 3 )@3=6. On retrouve bien l’expression
du polynôme caractéristique.
6.9 Exercices
1. On considère la matrice
D =
3
C
111
04
1
0 21
4
D
Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de cette matrice
en appliquant la méthode de Rutishauser, puis celle de Francis.
2. Calculer le polynôme caractéristique de la matrice
D =
3
C
131
21 1
02 0
4
D
par la méthode de Krylov.