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Méthode des puissances
puis le vecteur
|
(n) =
Ã
{
(n)
1
{
(n)
s
>===>
{
(n)
q
{
(n)
s
!
où {
(n)
s est la composante de plus grand module du vecteur {
(n)
telle que
¯
¯
¯{
(n)
s
¯
¯
¯ =sup
l
¯
¯
¯{
(n)
l
¯
¯
¯
La p-ième composante de |
(n)
vaut alors 1. La valeur propre estimée à la
k -ième itération est la p-ième composante du vecteur {
(n) =
(n)
1 = {
(n)
s
L’itération s’arrête dès que la diérence entre deux estimations de la valeur
propre est su!samment petite
¯
¯
¯
(n)
1
(n1)
1
¯
¯
¯ %
Le vecteur |
(n)
converge vers un vecteur propre y 1 associé à la valeur propre
1 .
Exemple.S o i tD une matrice de valeurs propres 1 =3> 2 =2> 3 =1et
de vecteurs propres associés y 1 =(0> 0> 1), y 2 =(1> 1> 1) et y 3 =(1> 0> 0).
D =
3
C
11
0
02
0
0 13
4
D
et { 0 =( 0 > 1> 0) un vecteur arbitraire. Calculons { 1 = D{ 0 =( 1 > 2> 1)=
Dans ce cas s =2et | 1 =( 1 @2> 1> 1@2).L ec a l c u ld e{ 2 = D| 1 =
(3@2> 2> 5@2) donne une estimation de la valeur propre
(1)
1 =2 .C o m m e
| 2 =( 3@5> 4@5> 1)> la valeur de s =3conduit à { 3 = D| 2 soit { 3 =
(7@5> 8@5> 19@5) et à une estimation de la valeur propre égale à
(2)
1 =
19@5. L’algorithme se poursuit. On calcule successivement les quantités
| 3 =( 7@19> 8@19> 1), { 4 = D| 4 =( 15@19> 16@19> 65@19) d’où s =
3 et
(3)
1
=6 5 @19. Ensuite | 4 =( 15@65> 16@65> 1) permet le calcul { 5 =( 31@65> 352@65> 211@65),d ’ o ù
(4)
1
= 211@65 puis | 5 =
(31@211> 32@211> 1), qui permet le calcul de { 6 = D| 5 soit encore
{ 6 =( 63@211> 64@211> 665@211) d’où
(5)
1
= 665@211.L as u i t e
(n)
1
converge vers 1 =3et | n converge vers le vecteur propre y 1 =( 0 > 0> 1).
3 est la plus grande valeur propre de D et (0> 0> 1) son vecteur propre
associé.
Remarquons que si on choisit un vecteur propre de la matrice D comme
vecteur initial { 0 de la méthode, on risque de ne pas avoir la plus grande