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Méthode de Jacobi
propres de la matrice D. Étudions le principe de la méthode. Considérons
la matrice K dont les éléments sont égaux à ceux de la matrice identité sauf
pour les quatre valeurs suivantes k ss =cos(), k st =sin()>k tt =cos()
et k ts = sin(),a v e cs?t .L am a t r i c eK est une matrice orthogonale
K
w K = L. À la première étape, on calcule la matrice D 1 = K
1
1 DK =
K
w DK, en remarquant que seules les lignes et les colonnes s et t sont
modifiées, pour m = s ou t,o na:
;
A A A A A A ?
A A A A A A =
d
(1)
sm = d
(1)
ms = d ms cos() d mt sin()
d
(1)
tm = d
(1)
mt = d ms cos()+d mt sin()
d
(1)
ss = d ss cos
2 ()+d tt sin
2 () 2d st sin()cos()
d
(1)
tt = d tt cos
2 ()+d ss sin
2 ()+2d st sin()cos()
d
(1)
st = d
(1)
ts = d st (cos
2 () sin
2 ()) + (d ss d tt )sin()cos()
On peut donc choisir de sorte que d
(1)
st = d
(1)
ts =0, c’est-à-dire tel que
wj(2)=
2d st
d ss d tt
avec ||
4
ou encore
cos()=
q 1
2 (1 +
1
s
1+ 2
)
sin()=vjq()
q 1
2 (1
1
s
1+ 2
)
Si d ss = d tt > on choisira
cos()=
1
s
2
sin()=
vjq(d st )
s
2
On a alors
(d
(1)
ss )
2 +(d
(1)
tt )
2 = d
2
ss + d
2
tt +2d
2
st
et comme d
(1)
ll = d ll pour l 6 = s ou t
q
X
l=1
(d
(1)
ll )
2 =
q
X
l=1
d
2
ll +2d
2
st
en passant de D à D 1 la somme des carrés des éléments diagonaux augmente
de la quantité 2d
2
st = En itérant ce processus, on obtient
D n+1 =(K 1 K 2 ===K n )
w D(K 1 K 2 ===K n )
La suite des matrices D n converge vers une matrice diagonale dont les
éléments diagonaux sont les valeurs propres de la matrice initiale D.Lasuite
des matrices S n = K 1 K 2 ===K n converge vers la matrice dont les colonnes