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Valeurs et vecteurs propres
Après la présentation des algorithmes de résolution des systèmes linéaires, nous étudions dans ce chapitre les problèmes liés au calcul des
valeurs et des vecteurs propres d’une matrice ainsi que les techniques de
calcul du polynôme caractéristique.
6.1 Méthode des puissances
La méthode des puissances, encore appelée méthode de la puissance itérée, repose sur l’idée qu’en appliquant un grand nombre de fois la matrice sur un vecteur quelconque, les vecteurs successifs obtenus prennent
une direction qui se rapproche de la direction du vecteur propre associé
à la plus grande valeur propre en valeur absolue. Supposons que la matrice D possède q valeurs propres simples distinctes et qu’il n’y en ait
qu’une de module maximum. Notons | 1 | A | 2 | > ===> | q | les valeurs
propres supposées rangées par ordre décroissant et y 1 >y 2 > ===> y q les vecteurs propres associés. L’algorithme consiste à calculer la suite des itérées
|
(n+1) = D|
(n) @
°
° D|
(n)
°
° . Pour cela, on se donne {
(0) =( {
(0)
1 > ===> {
(0)
q ) un
vecteur arbitraire et on pose |
(0) = {
(0)
.Àl ak -ième étape, on calcule le
vecteur {
(n) =({
(n)
1 > ===> {
(n)
q )
{
(n) = D|
(n1)