5. Systèmes linéaires
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3) Sachant qu’une méthode itérative quelconque { n+1 = E{ n + f
converge si et seulement si (E) ? 1> montrer que, dans le cas où les
nombres n sont indépendants de l’indice n> ( n = ), la méthode
itérative converge si et seulement si
0 ??
2
q
Déterminer la valeur optimale de =
4) On définit les polynômes de Tchebychev par
W n ({)=cos(q arccos {)
si |{| 1
W n ({)=
1
2
{
³
{
p
{ 2 1
´ n
+
³
{ +
p
{ 2 1
´ n
}
si |{| A 1
Montrer que W n est un polynôme de degré n vérifiant les relations de
récurrence, pour tout { réel :
½
W 0 ({)=1>W 1 ({)={
W n+2 ({)=2{W n+1 ({) W n ({)
Vérifier que le polynôme W n ({) admet dans l’intervalle [1> 1],(n +1)
extremums aux points { l = frv(
l
n )0 l n pour lesquels il prend
alternativement les valeurs +1 et 1.
5) On note P n l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à
n et on désigne par d un réel quelconque vérifiant |d| A 1.D ém on t re r
que le polynôme de Tchebychev W n est solution du problème suivant :
trouver un polynôme s({) de P n tel que
max
1{1
|s({)| inf
t5H n
max
1{1
|t({)|
où H n est l’ensemble des polynômes de P n qui coïncident avec le
polynôme de Tchebychev au point d
H n = {t 5 P n : t(d)=W n (d)}
6) Montrer que la solution de ce problème de minimisation est unique.
7) On désigne par x et y deux réels tels que 0 ?x y?1.M o n t r e r
que le problème : trouver un polynôme s 5 P n tel que
max
x{y
|s({)| inf
t5E n
max
x{y
|t({)|
et
E n = {t 5 P n : t(0) = 1}