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Exercices
2) Soit s l un système de vecteurs propres orthonormés de la matrice
D associés aux valeurs propres 0 ? 1 2 === q = Montrer que
z
2
s’écrit
z
2 =1
(
q
P
m=1
y
2
m
2
m )
2
(
q
P
m=1
y 2
m
3
m )(
q
P
m=1
y 2
m m )
où les coe!cients y m désignent les composantes de l’erreur h l dans la
base des vecteurs propres s m .
h l =
q
X
m=1
y m s m
3) Soit = frqg 2 (D)= q @ 1 le conditionnement de la matrice D
pour la 2-norme, montrer que z est majoré par
z
1
+1
4) En déduire l’inégalité
kh n k
µ 1
+1
¶ n
kh 0 k
Que peut-on dire du cas =1?
4. Accélération de convergence pour une méthode itérative. On se propose d’étudier une méthode d’accélération de la convergence qui utilise les polynômes de Tchebychev. On désigne par D une matrice
symétrique définie positive d’ordre q de valeurs propres 0 ? 1
=== q . La résolution du système linéaire D{ = e est approchée par
une méthode itérative de la forme
{ n+1 = { n + n (e D{ n )
{ n désigne la n- i è m ei t é r é ed e{ 0 et n est une suite de nombres
strictement positifs à choisir de manière optimale.
1) En exprimant l’erreur de la n-ième itération h n = { n {,m o n t r e r
qu’il existe un polynôme t n d’ordre q àc oe !cients réels tel que h n =
t n (D)h 0 . Préciser les racines de ce polynôme.
2) Sachant que la 2-norme vérifie kDk 2 = (D) pour une matrice
symétrique, démontrer l’inégalité
kt n (D)k 2 max
1 w q
|t n (w)|